Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67995 / 68634
↖ ↑ ↗
← S  8.477806°
E  6.753845°		 ← 302.03 m → S  8.477806°
E  6.756592°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
S  8.480522°
E  6.753845°		 ← 302.02 m →
91 226 m²		 S  8.480522°
E  6.756592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518764495849609 y=0.523639678955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518764495849609 × 217)
    floor (0.518764495849609 × 131072)
    floor (67995.5)     		tx = 67995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523639678955078 × 217)
    floor (0.523639678955078 × 131072)
    floor (68634.5)     		ty = 68634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67995 / 68634 ti = "17/67995/68634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67995/68634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67995 ÷ 217
    67995 ÷ 131072     		x = 0.518760681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68634 ÷ 217
    68634 ÷ 131072     		y = 0.523635864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518760681152344 × 2 - 1) × π
    0.0375213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11787684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523635864257812 × 2 - 1) × π
    -0.047271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.148508515022934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11787684} λ = 0.11787684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148508515022934))-π/2
    2×atan(0.861992667251918)-π/2
    2×0.711415354073492-π/2
    1.42283070814698-1.57079632675     		φ = -0.14796562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11787684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.753845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14796562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.477806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67995 KachelY 68634 0.11787684 -0.14796562 6.753845 -8.477806
    Oben rechts KachelX + 1 67996 KachelY 68634 0.11792477 -0.14796562 6.756592 -8.477806
    Unten links KachelX 67995 KachelY + 1 68635 0.11787684 -0.14801303 6.753845 -8.480522
    Unten rechts KachelX + 1 67996 KachelY + 1 68635 0.11792477 -0.14801303 6.756592 -8.480522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14796562--0.14801303) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dl = 302.049109999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14796562--0.14801303) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dr = 302.049109999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11787684-0.11792477) × cos(-0.14796562) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989073045560575 × 6371000     		do = 302.02535301067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11787684-0.11792477) × cos(-0.14801303) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989066054968665 × 6371000     		du = 302.023218349333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14796562)-sin(-0.14801303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989073045560575-0.989066054968665)×R²
    abs(0.11792477-0.11787684)×6.99059190967244e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.99059190967244e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.99059190967244e-06×40589641000000     		ar = 91226.1667050921m²