Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67994 / 99222
↖ ↑ ↗
← S 67.498059°
E  6.751099°		 ← 116.89 m → S 67.498059°
E  6.753845°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
S 67.499110°
E  6.751099°		 ← 116.89 m →
13 665 m²		 S 67.499110°
E  6.753845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518756866455078 y=0.757007598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518756866455078 × 217)
    floor (0.518756866455078 × 131072)
    floor (67994.5)     		tx = 67994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757007598876953 × 217)
    floor (0.757007598876953 × 131072)
    floor (99222.5)     		ty = 99222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67994 / 99222 ti = "17/67994/99222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67994/99222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67994 ÷ 217
    67994 ÷ 131072     		x = 0.518753051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99222 ÷ 217
    99222 ÷ 131072     		y = 0.757003784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518753051757812 × 2 - 1) × π
    0.037506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11782890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757003784179688 × 2 - 1) × π
    -0.514007568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61480240060121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11782890} λ = 0.11782890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61480240060121))-π/2
    2×atan(0.198929975000874)-π/2
    2×0.196366478263334-π/2
    0.392732956526668-1.57079632675     		φ = -1.17806337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11782890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.751099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17806337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.498059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67994 KachelY 99222 0.11782890 -1.17806337 6.751099 -67.498059
    Oben rechts KachelX + 1 67995 KachelY 99222 0.11787684 -1.17806337 6.753845 -67.498059
    Unten links KachelX 67994 KachelY + 1 99223 0.11782890 -1.17808172 6.751099 -67.499110
    Unten rechts KachelX + 1 67995 KachelY + 1 99223 0.11787684 -1.17808172 6.753845 -67.499110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17806337--1.17808172) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17806337--1.17808172) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11782890-0.11787684) × cos(-1.17806337) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.38271472865353 × 6371000     		do = 116.890929207895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11782890-0.11787684) × cos(-1.17808172) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.382697775637564 × 6371000     		du = 116.885751320448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17806337)-sin(-1.17808172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38271472865353-0.382697775637564)×R²
    abs(0.11787684-0.11782890)×1.69530159661035e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.69530159661035e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.69530159661035e-05×40589641000000     		ar = 13665.164550532m²