Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67993 / 69510
↖ ↑ ↗
← S 10.849492°
E  6.748352°		 ← 299.97 m → S 10.849492°
E  6.751099°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.852189°
E  6.748352°		 ← 299.96 m →
89 973 m²		 S 10.852189°
E  6.751099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518749237060547 y=0.530323028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518749237060547 × 217)
    floor (0.518749237060547 × 131072)
    floor (67993.5)     		tx = 67993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530323028564453 × 217)
    floor (0.530323028564453 × 131072)
    floor (69510.5)     		ty = 69510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67993 / 69510 ti = "17/67993/69510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67993/69510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67993 ÷ 217
    67993 ÷ 131072     		x = 0.518745422363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69510 ÷ 217
    69510 ÷ 131072     		y = 0.530319213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518745422363281 × 2 - 1) × π
    0.0374908447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11778096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530319213867188 × 2 - 1) × π
    -0.060638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.190501239090103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11778096} λ = 0.11778096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190501239090103))-π/2
    2×atan(0.826544733565023)-π/2
    2×0.690718490346886-π/2
    1.38143698069377-1.57079632675     		φ = -0.18935935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11778096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.748352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18935935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.849492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67993 KachelY 69510 0.11778096 -0.18935935 6.748352 -10.849492
    Oben rechts KachelX + 1 67994 KachelY 69510 0.11782890 -0.18935935 6.751099 -10.849492
    Unten links KachelX 67993 KachelY + 1 69511 0.11778096 -0.18940643 6.748352 -10.852189
    Unten rechts KachelX + 1 67994 KachelY + 1 69511 0.11782890 -0.18940643 6.751099 -10.852189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18935935--0.18940643) × R
    4.70799999999771e-05 × 6371000     		dl = 299.946679999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18935935--0.18940643) × R
    4.70799999999771e-05 × 6371000     		dr = 299.946679999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11778096-0.11782890) × cos(-0.18935935) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982125026036879 × 6371000     		do = 299.96626284981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11778096-0.11782890) × cos(-0.18940643) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982116163092493 × 6371000     		du = 299.963555878463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18935935)-sin(-0.18940643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982125026036879-0.982116163092493)×R²
    abs(0.11782890-0.11778096)×8.86294438529056e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.86294438529056e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.86294438529056e-06×40589641000000     		ar = 89973.4786968221m²