Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67992 / 69511
↖ ↑ ↗
← S 10.852189°
E  6.745606°		 ← 299.90 m → S 10.852189°
E  6.748352°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.854887°
E  6.745606°		 ← 299.90 m →
89 954 m²		 S 10.854887°
E  6.748352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518741607666016 y=0.530330657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518741607666016 × 217)
    floor (0.518741607666016 × 131072)
    floor (67992.5)     		tx = 67992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530330657958984 × 217)
    floor (0.530330657958984 × 131072)
    floor (69511.5)     		ty = 69511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67992 / 69511 ti = "17/67992/69511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67992/69511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67992 ÷ 217
    67992 ÷ 131072     		x = 0.51873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69511 ÷ 217
    69511 ÷ 131072     		y = 0.530326843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51873779296875 × 2 - 1) × π
    0.0374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11773303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530326843261719 × 2 - 1) × π
    -0.0606536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.190549175989723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11773303} λ = 0.11773303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190549175989723))-π/2
    2×atan(0.826505112522761)-π/2
    2×0.690694950438686-π/2
    1.38138990087737-1.57079632675     		φ = -0.18940643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11773303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.745606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18940643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.852189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67992 KachelY 69511 0.11773303 -0.18940643 6.745606 -10.852189
    Oben rechts KachelX + 1 67993 KachelY 69511 0.11778096 -0.18940643 6.748352 -10.852189
    Unten links KachelX 67992 KachelY + 1 69512 0.11773303 -0.18945351 6.745606 -10.854887
    Unten rechts KachelX + 1 67993 KachelY + 1 69512 0.11778096 -0.18945351 6.748352 -10.854887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18940643--0.18945351) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18940643--0.18945351) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11773303-0.11778096) × cos(-0.18940643) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982116163092493 × 6371000     		do = 299.900985257745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11773303-0.11778096) × cos(-0.18945351) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982107297971222 × 6371000     		du = 299.898278186317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18940643)-sin(-0.18945351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982116163092493-0.982107297971222)×R²
    abs(0.11778096-0.11773303)×8.86512127162842e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.86512127162842e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.86512127162842e-06×40589641000000     		ar = 89953.8988848716m²