Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67991 / 47985
↖ ↑ ↗
← N 43.355141°
E  6.742859°		 ← 222.08 m → N 43.355141°
E  6.745606°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
N 43.353144°
E  6.742859°		 ← 222.09 m →
49 309 m²		 N 43.353144°
E  6.745606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518733978271484 y=0.366100311279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518733978271484 × 217)
    floor (0.518733978271484 × 131072)
    floor (67991.5)     		tx = 67991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366100311279297 × 217)
    floor (0.366100311279297 × 131072)
    floor (47985.5)     		ty = 47985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67991 / 47985 ti = "17/67991/47985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67991/47985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67991 ÷ 217
    67991 ÷ 131072     		x = 0.518730163574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47985 ÷ 217
    47985 ÷ 131072     		y = 0.366096496582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518730163574219 × 2 - 1) × π
    0.0374603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11768509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366096496582031 × 2 - 1) × π
    0.267807006835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.841340525231606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11768509} λ = 0.11768509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841340525231606))-π/2
    2×atan(2.31947420735431)-π/2
    2×1.16374314402765-π/2
    2.32748628805529-1.57079632675     		φ = 0.75668996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11768509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.742859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75668996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.355141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67991 KachelY 47985 0.11768509 0.75668996 6.742859 43.355141
    Oben rechts KachelX + 1 67992 KachelY 47985 0.11773303 0.75668996 6.745606 43.355141
    Unten links KachelX 67991 KachelY + 1 47986 0.11768509 0.75665511 6.742859 43.353144
    Unten rechts KachelX + 1 67992 KachelY + 1 47986 0.11773303 0.75665511 6.745606 43.353144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75668996-0.75665511) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75668996-0.75665511) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11768509-0.11773303) × cos(0.75668996) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.727112393336758 × 6371000     		do = 222.078840798033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11768509-0.11773303) × cos(0.75665511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.727136318062814 × 6371000     		du = 222.086148025193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75668996)-sin(0.75665511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727112393336758-0.727136318062814)×R²
    abs(0.11773303-0.11768509)×2.39247260565012e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39247260565012e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39247260565012e-05×40589641000000     		ar = 49308.831885667m²