Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67991 / 42519
↖ ↑ ↗
← N 53.293131°
E  6.742859°		 ← 182.56 m → N 53.293131°
E  6.745606°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
N 53.291489°
E  6.742859°		 ← 182.57 m →
33 323 m²		 N 53.291489°
E  6.745606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518733978271484 y=0.324398040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518733978271484 × 217)
    floor (0.518733978271484 × 131072)
    floor (67991.5)     		tx = 67991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324398040771484 × 217)
    floor (0.324398040771484 × 131072)
    floor (42519.5)     		ty = 42519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67991 / 42519 ti = "17/67991/42519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67991/42519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67991 ÷ 217
    67991 ÷ 131072     		x = 0.518730163574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42519 ÷ 217
    42519 ÷ 131072     		y = 0.324394226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518730163574219 × 2 - 1) × π
    0.0374603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11768509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324394226074219 × 2 - 1) × π
    0.351211547851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.10336361855483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11768509} λ = 0.11768509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10336361855483))-π/2
    2×atan(3.01428790605843)-π/2
    2×1.25046846385555-π/2
    2.5009369277111-1.57079632675     		φ = 0.93014060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11768509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.742859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93014060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.293131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67991 KachelY 42519 0.11768509 0.93014060 6.742859 53.293131
    Oben rechts KachelX + 1 67992 KachelY 42519 0.11773303 0.93014060 6.745606 53.293131
    Unten links KachelX 67991 KachelY + 1 42520 0.11768509 0.93011195 6.742859 53.291489
    Unten rechts KachelX + 1 67992 KachelY + 1 42520 0.11773303 0.93011195 6.745606 53.291489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93014060-0.93011195) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dl = 182.529149999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93014060-0.93011195) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dr = 182.529149999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11768509-0.11773303) × cos(0.93014060) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.597721268614883 × 6371000     		do = 182.559460780425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11768509-0.11773303) × cos(0.93011195) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.597744237188836 × 6371000     		du = 182.566475974122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93014060)-sin(0.93011195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597721268614883-0.597744237188836)×R²
    abs(0.11773303-0.11768509)×2.29685739534524e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.29685739534524e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.29685739534524e-05×40589641000000     		ar = 33323.0634416662m²