Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67990 / 69509
↖ ↑ ↗
← S 10.846794°
E  6.740112°		 ← 299.97 m → S 10.846794°
E  6.742859°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.849492°
E  6.740112°		 ← 299.97 m →
89 974 m²		 S 10.849492°
E  6.742859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518726348876953 y=0.530315399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518726348876953 × 217)
    floor (0.518726348876953 × 131072)
    floor (67990.5)     		tx = 67990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530315399169922 × 217)
    floor (0.530315399169922 × 131072)
    floor (69509.5)     		ty = 69509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67990 / 69509 ti = "17/67990/69509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67990/69509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67990 ÷ 217
    67990 ÷ 131072     		x = 0.518722534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69509 ÷ 217
    69509 ÷ 131072     		y = 0.530311584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518722534179688 × 2 - 1) × π
    0.037445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11763715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530311584472656 × 2 - 1) × π
    -0.0606231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.190453302190483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11763715} λ = 0.11763715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190453302190483))-π/2
    2×atan(0.82658435650664)-π/2
    2×0.690742030467492-π/2
    1.38148406093498-1.57079632675     		φ = -0.18931227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11763715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.740112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18931227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.846794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67990 KachelY 69509 0.11763715 -0.18931227 6.740112 -10.846794
    Oben rechts KachelX + 1 67991 KachelY 69509 0.11768509 -0.18931227 6.742859 -10.846794
    Unten links KachelX 67990 KachelY + 1 69510 0.11763715 -0.18935935 6.740112 -10.849492
    Unten rechts KachelX + 1 67991 KachelY + 1 69510 0.11768509 -0.18935935 6.742859 -10.849492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18931227--0.18935935) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18931227--0.18935935) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11763715-0.11768509) × cos(-0.18931227) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.982133886804358 × 6371000     		do = 299.968969156361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11763715-0.11768509) × cos(-0.18935935) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.982125026036879 × 6371000     		du = 299.966262849897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18931227)-sin(-0.18935935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982133886804358-0.982125026036879)×R²
    abs(0.11768509-0.11763715)×8.86076747930176e-06×R²
    4.79400000000102e-05×8.86076747930176e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×8.86076747930176e-06×40589641000000     		ar = 89974.2905443118m²