Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67990 / 69220
↖ ↑ ↗
← S 10.066220°
E  6.740112°		 ← 300.72 m → S 10.066220°
E  6.742859°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.068924°
E  6.740112°		 ← 300.72 m →
90 431 m²		 S 10.068924°
E  6.742859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518726348876953 y=0.528110504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518726348876953 × 217)
    floor (0.518726348876953 × 131072)
    floor (67990.5)     		tx = 67990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528110504150391 × 217)
    floor (0.528110504150391 × 131072)
    floor (69220.5)     		ty = 69220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67990 / 69220 ti = "17/67990/69220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67990/69220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67990 ÷ 217
    67990 ÷ 131072     		x = 0.518722534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69220 ÷ 217
    69220 ÷ 131072     		y = 0.528106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518722534179688 × 2 - 1) × π
    0.037445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11763715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.05621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.176599538200287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11763715} λ = 0.11763715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176599538200287))-π/2
    2×atan(0.838115350509462)-π/2
    2×0.697553821178753-π/2
    1.39510764235751-1.57079632675     		φ = -0.17568868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11763715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.740112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17568868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.066220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67990 KachelY 69220 0.11763715 -0.17568868 6.740112 -10.066220
    Oben rechts KachelX + 1 67991 KachelY 69220 0.11768509 -0.17568868 6.742859 -10.066220
    Unten links KachelX 67990 KachelY + 1 69221 0.11763715 -0.17573588 6.740112 -10.068924
    Unten rechts KachelX + 1 67991 KachelY + 1 69221 0.11768509 -0.17573588 6.742859 -10.068924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17568868--0.17573588) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17568868--0.17573588) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11763715-0.11768509) × cos(-0.17568868) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.984606400604101 × 6371000     		do = 300.724138513308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11763715-0.11768509) × cos(-0.17573588) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.984598149595967 × 6371000     		du = 300.721618443043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17568868)-sin(-0.17573588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984606400604101-0.984598149595967)×R²
    abs(0.11768509-0.11763715)×8.25100813439672e-06×R²
    4.79400000000102e-05×8.25100813439672e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×8.25100813439672e-06×40589641000000     		ar = 90430.7376714072m²