Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67990 / 42519
N 53.293131°
E  6.740112°
← 182.56 m → N 53.293131°
E  6.742859°

182.53 m

182.53 m
N 53.291489°
E  6.740112°
← 182.57 m →
33 323 m²
N 53.291489°
E  6.742859°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518726348876953 y=0.324398040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518726348876953 × 217)
    floor (0.518726348876953 × 131072)
    floor (67990.5)
    tx = 67990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324398040771484 × 217)
    floor (0.324398040771484 × 131072)
    floor (42519.5)
    ty = 42519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67990 / 42519 ti = "17/67990/42519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67990/42519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67990 ÷ 217
    67990 ÷ 131072
    x = 0.518722534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42519 ÷ 217
    42519 ÷ 131072
    y = 0.324394226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.518722534179688 × 2 - 1) × π
    0.037445068359375 × 3.1415926535
    Λ = 0.11763715
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.324394226074219 × 2 - 1) × π
    0.351211547851562 × 3.1415926535
    Φ = 1.10336361855483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11763715} λ = 0.11763715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10336361855483))-π/2
    2×atan(3.01428790605843)-π/2
    2×1.25046846385555-π/2
    2.5009369277111-1.57079632675
    φ = 0.93014060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11763715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.740112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93014060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.293131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67990 KachelY 42519 0.11763715 0.93014060 6.740112 53.293131
    Oben rechts KachelX + 1 67991 KachelY 42519 0.11768509 0.93014060 6.742859 53.293131
    Unten links KachelX 67990 KachelY + 1 42520 0.11763715 0.93011195 6.740112 53.291489
    Unten rechts KachelX + 1 67991 KachelY + 1 42520 0.11768509 0.93011195 6.742859 53.291489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.93014060-0.93011195) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000
    dl = 182.529149999767m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.93014060-0.93011195) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000
    dr = 182.529149999767m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.11763715-0.11768509) × cos(0.93014060) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.597721268614883 × 6371000
    do = 182.559460780478m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.11763715-0.11768509) × cos(0.93011195) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.597744237188836 × 6371000
    du = 182.566475974175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.93014060)-sin(0.93011195))×
    abs(λ12)×abs(0.597721268614883-0.597744237188836)×
    abs(0.11768509-0.11763715)×2.29685739534524e-05×
    4.79400000000102e-05×2.29685739534524e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.29685739534524e-05×40589641000000
    ar = 33323.0634416759m²