Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67988 / 68695
↖ ↑ ↗
← S  8.643480°
E  6.734619°		 ← 301.89 m → S  8.643480°
E  6.737365°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.646196°
E  6.734619°		 ← 301.89 m →
91 148 m²		 S  8.646196°
E  6.737365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518711090087891 y=0.524105072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518711090087891 × 217)
    floor (0.518711090087891 × 131072)
    floor (67988.5)     		tx = 67988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524105072021484 × 217)
    floor (0.524105072021484 × 131072)
    floor (68695.5)     		ty = 68695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67988 / 68695 ti = "17/67988/68695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67988/68695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67988 ÷ 217
    67988 ÷ 131072     		x = 0.518707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68695 ÷ 217
    68695 ÷ 131072     		y = 0.524101257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518707275390625 × 2 - 1) × π
    0.03741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11754128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524101257324219 × 2 - 1) × π
    -0.0482025146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.151432665899757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11754128} λ = 0.11754128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151432665899757))-π/2
    2×atan(0.859475752351055)-π/2
    2×0.709969568341019-π/2
    1.41993913668204-1.57079632675     		φ = -0.15085719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11754128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.734619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15085719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.643480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67988 KachelY 68695 0.11754128 -0.15085719 6.734619 -8.643480
    Oben rechts KachelX + 1 67989 KachelY 68695 0.11758921 -0.15085719 6.737365 -8.643480
    Unten links KachelX 67988 KachelY + 1 68696 0.11754128 -0.15090458 6.734619 -8.646196
    Unten rechts KachelX + 1 67989 KachelY + 1 68696 0.11758921 -0.15090458 6.737365 -8.646196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15085719--0.15090458) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dl = 301.921690000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15085719--0.15090458) × R
    4.73900000000083e-05 × 6371000     		dr = 301.921690000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11754128-0.11758921) × cos(-0.15085719) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988642617816992 × 6371000     		do = 301.893916721121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11754128-0.11758921) × cos(-0.15090458) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988635494670261 × 6371000     		du = 301.891741582575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15085719)-sin(-0.15090458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988642617816992-0.988635494670261)×R²
    abs(0.11758921-0.11754128)×7.12314673145809e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.12314673145809e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.12314673145809e-06×40589641000000     		ar = 91147.9931934722m²