Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67988 / 47982
↖ ↑ ↗
← N 43.361132°
E  6.734619°		 ← 222.01 m → N 43.361132°
E  6.737365°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
N 43.359135°
E  6.734619°		 ← 222.02 m →
49 294 m²		 N 43.359135°
E  6.737365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518711090087891 y=0.366077423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518711090087891 × 217)
    floor (0.518711090087891 × 131072)
    floor (67988.5)     		tx = 67988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366077423095703 × 217)
    floor (0.366077423095703 × 131072)
    floor (47982.5)     		ty = 47982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67988 / 47982 ti = "17/67988/47982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67988/47982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67988 ÷ 217
    67988 ÷ 131072     		x = 0.518707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47982 ÷ 217
    47982 ÷ 131072     		y = 0.366073608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518707275390625 × 2 - 1) × π
    0.03741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11754128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366073608398438 × 2 - 1) × π
    0.267852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.841484335930466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11754128} λ = 0.11754128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841484335930466))-π/2
    2×atan(2.31980779654733)-π/2
    2×1.16379542471736-π/2
    2.32759084943472-1.57079632675     		φ = 0.75679452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11754128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.734619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75679452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.361132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67988 KachelY 47982 0.11754128 0.75679452 6.734619 43.361132
    Oben rechts KachelX + 1 67989 KachelY 47982 0.11758921 0.75679452 6.737365 43.361132
    Unten links KachelX 67988 KachelY + 1 47983 0.11754128 0.75675967 6.734619 43.359135
    Unten rechts KachelX + 1 67989 KachelY + 1 47983 0.11758921 0.75675967 6.737365 43.359135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75679452-0.75675967) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75679452-0.75675967) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11754128-0.11758921) × cos(0.75679452) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.727040606994194 × 6371000     		do = 222.010595644187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11754128-0.11758921) × cos(0.75675967) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.727064534369699 × 6371000     		du = 222.017902156144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75679452)-sin(0.75675967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727040606994194-0.727064534369699)×R²
    abs(0.11758921-0.11754128)×2.39273755058278e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39273755058278e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39273755058278e-05×40589641000000     		ar = 49293.6793791786m²