Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67987 / 69218
↖ ↑ ↗
← S 10.060812°
E  6.731873°		 ← 300.73 m → S 10.060812°
E  6.734619°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.063516°
E  6.731873°		 ← 300.73 m →
90 432 m²		 S 10.063516°
E  6.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518703460693359 y=0.528095245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518703460693359 × 217)
    floor (0.518703460693359 × 131072)
    floor (67987.5)     		tx = 67987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528095245361328 × 217)
    floor (0.528095245361328 × 131072)
    floor (69218.5)     		ty = 69218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67987 / 69218 ti = "17/67987/69218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67987/69218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67987 ÷ 217
    67987 ÷ 131072     		x = 0.518699645996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69218 ÷ 217
    69218 ÷ 131072     		y = 0.528091430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518699645996094 × 2 - 1) × π
    0.0373992919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11749334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528091430664062 × 2 - 1) × π
    -0.056182861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.176503664401047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11749334} λ = 0.11749334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176503664401047))-π/2
    2×atan(0.838195707664328)-π/2
    2×0.697601020552305-π/2
    1.39520204110461-1.57079632675     		φ = -0.17559429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11749334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.731873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17559429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.060812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67987 KachelY 69218 0.11749334 -0.17559429 6.731873 -10.060812
    Oben rechts KachelX + 1 67988 KachelY 69218 0.11754128 -0.17559429 6.734619 -10.060812
    Unten links KachelX 67987 KachelY + 1 69219 0.11749334 -0.17564149 6.731873 -10.063516
    Unten rechts KachelX + 1 67988 KachelY + 1 69219 0.11754128 -0.17564149 6.734619 -10.063516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17559429--0.17564149) × R
    4.7200000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.711200000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17559429--0.17564149) × R
    4.7200000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.711200000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11749334-0.11754128) × cos(-0.17559429) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984622894292782 × 6371000     		do = 300.729176110292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11749334-0.11754128) × cos(-0.17564149) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984614647671292 × 6371000     		du = 300.726657379821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17559429)-sin(-0.17564149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984622894292782-0.984614647671292)×R²
    abs(0.11754128-0.11749334)×8.24662148968258e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.24662148968258e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.24662148968258e-06×40589641000000     		ar = 90432.2527347289m²