Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67986 / 69027
↖ ↑ ↗
← S  9.543875°
E  6.729126°		 ← 301.20 m → S  9.543875°
E  6.731873°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.546583°
E  6.729126°		 ← 301.20 m →
90 708 m²		 S  9.546583°
E  6.731873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518695831298828 y=0.526638031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518695831298828 × 217)
    floor (0.518695831298828 × 131072)
    floor (67986.5)     		tx = 67986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526638031005859 × 217)
    floor (0.526638031005859 × 131072)
    floor (69027.5)     		ty = 69027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67986 / 69027 ti = "17/67986/69027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67986/69027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67986 ÷ 217
    67986 ÷ 131072     		x = 0.518692016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69027 ÷ 217
    69027 ÷ 131072     		y = 0.526634216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518692016601562 × 2 - 1) × π
    0.037384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11744540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526634216308594 × 2 - 1) × π
    -0.0532684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.167347716573616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11744540} λ = 0.11744540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167347716573616))-π/2
    2×atan(0.84590542485746)-π/2
    2×0.702112144121909-π/2
    1.40422428824382-1.57079632675     		φ = -0.16657204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11744540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.729126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16657204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.543875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67986 KachelY 69027 0.11744540 -0.16657204 6.729126 -9.543875
    Oben rechts KachelX + 1 67987 KachelY 69027 0.11749334 -0.16657204 6.731873 -9.543875
    Unten links KachelX 67986 KachelY + 1 69028 0.11744540 -0.16661931 6.729126 -9.546583
    Unten rechts KachelX + 1 67987 KachelY + 1 69028 0.11749334 -0.16661931 6.731873 -9.546583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16657204--0.16661931) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dl = 301.157169999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16657204--0.16661931) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dr = 301.157169999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11744540-0.11749334) × cos(-0.16657204) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986158925345886 × 6371000     		do = 301.198319531349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11744540-0.11749334) × cos(-0.16661931) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98615108674499 × 6371000     		du = 301.19592542087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16657204)-sin(-0.16661931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986158925345886-0.98615108674499)×R²
    abs(0.11749334-0.11744540)×7.83860089603738e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.83860089603738e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.83860089603738e-06×40589641000000     		ar = 90707.6730339247m²