Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67984 / 69488
↖ ↑ ↗
← S 10.790141°
E  6.723633°		 ← 300.03 m → S 10.790141°
E  6.726380°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
S 10.792839°
E  6.723633°		 ← 300.02 m →
90 010 m²		 S 10.792839°
E  6.726380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518680572509766 y=0.530155181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518680572509766 × 217)
    floor (0.518680572509766 × 131072)
    floor (67984.5)     		tx = 67984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530155181884766 × 217)
    floor (0.530155181884766 × 131072)
    floor (69488.5)     		ty = 69488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67984 / 69488 ti = "17/67984/69488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67984/69488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67984 ÷ 217
    67984 ÷ 131072     		x = 0.5186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69488 ÷ 217
    69488 ÷ 131072     		y = 0.5301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.189446627298462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11734953} λ = 0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.189446627298462))-π/2
    2×atan(0.827416877193003)-π/2
    2×0.691236421976745-π/2
    1.38247284395349-1.57079632675     		φ = -0.18832348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18832348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.790141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67984 KachelY 69488 0.11734953 -0.18832348 6.723633 -10.790141
    Oben rechts KachelX + 1 67985 KachelY 69488 0.11739747 -0.18832348 6.726380 -10.790141
    Unten links KachelX 67984 KachelY + 1 69489 0.11734953 -0.18837057 6.723633 -10.792839
    Unten rechts KachelX + 1 67985 KachelY + 1 69489 0.11739747 -0.18837057 6.726380 -10.792839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18832348--0.18837057) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18832348--0.18837057) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11734953-0.11739747) × cos(-0.18832348) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.982319480614742 × 6371000     		do = 300.025654283237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11734953-0.11739747) × cos(-0.18837057) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.982310663699321 × 6371000     		du = 300.02296137032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18832348)-sin(-0.18837057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982319480614742-0.982310663699321)×R²
    abs(0.11739747-0.11734953)×8.81691542087282e-06×R²
    4.79400000000102e-05×8.81691542087282e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×8.81691542087282e-06×40589641000000     		ar = 90010.4096172592m²