Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67983 / 43677
↖ ↑ ↗
← N 51.349485°
E  6.720886°		 ← 190.76 m → N 51.349485°
E  6.723633°		 →
↑
190.75 m
↓
↑
190.75 m
↓
N 51.347770°
E  6.720886°		 ← 190.77 m →
36 388 m²		 N 51.347770°
E  6.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518672943115234 y=0.333232879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518672943115234 × 217)
    floor (0.518672943115234 × 131072)
    floor (67983.5)     		tx = 67983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333232879638672 × 217)
    floor (0.333232879638672 × 131072)
    floor (43677.5)     		ty = 43677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67983 / 43677 ti = "17/67983/43677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67983/43677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67983 ÷ 217
    67983 ÷ 131072     		x = 0.518669128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43677 ÷ 217
    43677 ÷ 131072     		y = 0.333229064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518669128417969 × 2 - 1) × π
    0.0373382568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11730159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333229064941406 × 2 - 1) × π
    0.333541870117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04785268879481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11730159} λ = 0.11730159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04785268879481))-π/2
    2×atan(2.85152143532034)-π/2
    2×1.23350695666099-π/2
    2.46701391332198-1.57079632675     		φ = 0.89621759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11730159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.720886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89621759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.349485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67983 KachelY 43677 0.11730159 0.89621759 6.720886 51.349485
    Oben rechts KachelX + 1 67984 KachelY 43677 0.11734953 0.89621759 6.723633 51.349485
    Unten links KachelX 67983 KachelY + 1 43678 0.11730159 0.89618765 6.720886 51.347770
    Unten rechts KachelX + 1 67984 KachelY + 1 43678 0.11734953 0.89618765 6.723633 51.347770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89621759-0.89618765) × R
    2.99400000000061e-05 × 6371000     		dl = 190.747740000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89621759-0.89618765) × R
    2.99400000000061e-05 × 6371000     		dr = 190.747740000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11730159-0.11734953) × cos(0.89621759) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624568378176969 × 6371000     		do = 190.759259085286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11730159-0.11734953) × cos(0.89618765) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.624591760142668 × 6371000     		du = 190.766400539462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89621759)-sin(0.89618765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624568378176969-0.624591760142668)×R²
    abs(0.11734953-0.11730159)×2.33819656990653e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33819656990653e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33819656990653e-05×40589641000000     		ar = 36387.5786655528m²