Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67981 / 69293
↖ ↑ ↗
← S 10.263573°
E  6.715393°		 ← 300.54 m → S 10.263573°
E  6.718140°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.266276°
E  6.715393°		 ← 300.54 m →
90 317 m²		 S 10.266276°
E  6.718140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518657684326172 y=0.528667449951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518657684326172 × 217)
    floor (0.518657684326172 × 131072)
    floor (67981.5)     		tx = 67981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528667449951172 × 217)
    floor (0.528667449951172 × 131072)
    floor (69293.5)     		ty = 69293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67981 / 69293 ti = "17/67981/69293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67981/69293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67981 ÷ 217
    67981 ÷ 131072     		x = 0.518653869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69293 ÷ 217
    69293 ÷ 131072     		y = 0.528663635253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518653869628906 × 2 - 1) × π
    0.0373077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11720572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528663635253906 × 2 - 1) × π
    -0.0573272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.180098931872551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11720572} λ = 0.11720572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180098931872551))-π/2
    2×atan(0.835187580652646)-π/2
    2×0.695831588635199-π/2
    1.3916631772704-1.57079632675     		φ = -0.17913315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11720572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.715393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17913315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.263573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67981 KachelY 69293 0.11720572 -0.17913315 6.715393 -10.263573
    Oben rechts KachelX + 1 67982 KachelY 69293 0.11725366 -0.17913315 6.718140 -10.263573
    Unten links KachelX 67981 KachelY + 1 69294 0.11720572 -0.17918032 6.715393 -10.266276
    Unten rechts KachelX + 1 67982 KachelY + 1 69294 0.11725366 -0.17918032 6.718140 -10.266276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17913315--0.17918032) × R
    4.7170000000013e-05 × 6371000     		dl = 300.520070000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17913315--0.17918032) × R
    4.7170000000013e-05 × 6371000     		dr = 300.520070000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11720572-0.11725366) × cos(-0.17913315) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98399851491013 × 6371000     		do = 300.538474575304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11720572-0.11725366) × cos(-0.17918032) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983990109222314 × 6371000     		du = 300.535907261883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17913315)-sin(-0.17918032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98399851491013-0.983990109222314)×R²
    abs(0.11725366-0.11720572)×8.40568781612649e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.40568781612649e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.40568781612649e-06×40589641000000     		ar = 90317.4576692539m²