Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67980 / 98952
↖ ↑ ↗
← S 67.212544°
E  6.712646°		 ← 118.30 m → S 67.212544°
E  6.715393°		 →
↑
118.31 m
↓
↑
118.31 m
↓
S 67.213608°
E  6.712646°		 ← 118.29 m →
13 995 m²		 S 67.213608°
E  6.715393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518650054931641 y=0.754947662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518650054931641 × 217)
    floor (0.518650054931641 × 131072)
    floor (67980.5)     		tx = 67980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754947662353516 × 217)
    floor (0.754947662353516 × 131072)
    floor (98952.5)     		ty = 98952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67980 / 98952 ti = "17/67980/98952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67980/98952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67980 ÷ 217
    67980 ÷ 131072     		x = 0.518646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98952 ÷ 217
    98952 ÷ 131072     		y = 0.75494384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518646240234375 × 2 - 1) × π
    0.03729248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11715778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.5098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6018594377038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11715778} λ = 0.11715778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6018594377038))-π/2
    2×atan(0.20152145281007)-π/2
    2×0.198858066290655-π/2
    0.397716132581309-1.57079632675     		φ = -1.17308019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11715778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.712646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17308019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.212544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67980 KachelY 98952 0.11715778 -1.17308019 6.712646 -67.212544
    Oben rechts KachelX + 1 67981 KachelY 98952 0.11720572 -1.17308019 6.715393 -67.212544
    Unten links KachelX 67980 KachelY + 1 98953 0.11715778 -1.17309876 6.712646 -67.213608
    Unten rechts KachelX + 1 67981 KachelY + 1 98953 0.11720572 -1.17309876 6.715393 -67.213608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17308019--1.17309876) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dl = 118.309469999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17308019--1.17309876) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dr = 118.309469999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11715778-0.11720572) × cos(-1.17308019) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387313751214853 × 6371000     		do = 118.295589076963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11715778-0.11720572) × cos(-1.17309876) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387296630574282 × 6371000     		du = 118.290359992648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17308019)-sin(-1.17309876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387313751214853-0.387296630574282)×R²
    abs(0.11720572-0.11715778)×1.71206405706337e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71206405706337e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71206405706337e-05×40589641000000     		ar = 13995.1791222911m²