Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67980 / 72556
↖ ↑ ↗
← S 18.927072°
E  6.712646°		 ← 288.91 m → S 18.927072°
E  6.715393°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
S 18.929671°
E  6.712646°		 ← 288.91 m →
83 473 m²		 S 18.929671°
E  6.715393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518650054931641 y=0.553562164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518650054931641 × 217)
    floor (0.518650054931641 × 131072)
    floor (67980.5)     		tx = 67980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553562164306641 × 217)
    floor (0.553562164306641 × 131072)
    floor (72556.5)     		ty = 72556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67980 / 72556 ti = "17/67980/72556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67980/72556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67980 ÷ 217
    67980 ÷ 131072     		x = 0.518646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72556 ÷ 217
    72556 ÷ 131072     		y = 0.553558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518646240234375 × 2 - 1) × π
    0.03729248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11715778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.10711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.336517035332794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11715778} λ = 0.11715778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336517035332794))-π/2
    2×atan(0.714253715922761)-π/2
    2×0.620228297556953-π/2
    1.24045659511391-1.57079632675     		φ = -0.33033973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11715778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.712646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33033973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.927072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67980 KachelY 72556 0.11715778 -0.33033973 6.712646 -18.927072
    Oben rechts KachelX + 1 67981 KachelY 72556 0.11720572 -0.33033973 6.715393 -18.927072
    Unten links KachelX 67980 KachelY + 1 72557 0.11715778 -0.33038508 6.712646 -18.929671
    Unten rechts KachelX + 1 67981 KachelY + 1 72557 0.11720572 -0.33038508 6.715393 -18.929671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33033973--0.33038508) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33033973--0.33038508) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11715778-0.11720572) × cos(-0.33033973) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945932201798033 × 6371000     		do = 288.912042723971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11715778-0.11720572) × cos(-0.33038508) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945917490899393 × 6371000     		du = 288.907549636868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33033973)-sin(-0.33038508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945932201798033-0.945917490899393)×R²
    abs(0.11720572-0.11715778)×1.47108986401356e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47108986401356e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47108986401356e-05×40589641000000     		ar = 83473.2195392889m²