Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6798 / 7821
↖ ↑ ↗
← N 79.547599°
W142.657471°		 ← 110.82 m → N 79.547599°
W142.651977°		 →
↑
110.79 m
↓
↑
110.79 m
↓
N 79.546602°
W142.657471°		 ← 110.83 m →
12 278 m²		 N 79.546602°
W142.651977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103736877441406 y=0.119346618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103736877441406 × 216)
    floor (0.103736877441406 × 65536)
    floor (6798.5)     		tx = 6798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119346618652344 × 216)
    floor (0.119346618652344 × 65536)
    floor (7821.5)     		ty = 7821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6798 / 7821 ti = "16/6798/7821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6798/7821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6798 ÷ 216
    6798 ÷ 65536     		x = 0.103729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7821 ÷ 216
    7821 ÷ 65536     		y = 0.119338989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.79254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48984257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119338989257812 × 2 - 1) × π
    0.761322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39176366964308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48984257} λ = -2.48984257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39176366964308))-π/2
    2×atan(10.9327587243706)-π/2
    2×1.47958191974514-π/2
    2.95916383949028-1.57079632675     		φ = 1.38836751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48984257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.657471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38836751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.547599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6798 KachelY 7821 -2.48984257 1.38836751 -142.657471 79.547599
    Oben rechts KachelX + 1 6799 KachelY 7821 -2.48974669 1.38836751 -142.651977 79.547599
    Unten links KachelX 6798 KachelY + 1 7822 -2.48984257 1.38835012 -142.657471 79.546602
    Unten rechts KachelX + 1 6799 KachelY + 1 7822 -2.48974669 1.38835012 -142.651977 79.546602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38836751-1.38835012) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dl = 110.791690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38836751-1.38835012) × R
    1.7390000000006e-05 × 6371000     		dr = 110.791690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48984257--2.48974669) × cos(1.38836751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181418619100024 × 6371000     		do = 110.819831976733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48984257--2.48974669) × cos(1.38835012) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181435720502258 × 6371000     		du = 110.830278393598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38836751)-sin(1.38835012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181418619100024-0.181435720502258)×R²
    abs(-2.48974669--2.48984257)×1.71014022338767e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71014022338767e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71014022338767e-05×40589641000000     		ar = 12278.4951585899m²