Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6798 / 6270
↖ ↑ ↗
← S 68.624543°
E118.740234°		 ← 1 781.02 m → S 68.624543°
E118.784179°		 →
↑
1 780.44 m
↓
↑
1 780.44 m
↓
S 68.640555°
E118.740234°		 ← 1 779.75 m →
3 169 865 m²		 S 68.640555°
E118.784179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82989501953125 y=0.76544189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82989501953125 × 213)
    floor (0.82989501953125 × 8192)
    floor (6798.5)     		tx = 6798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76544189453125 × 213)
    floor (0.76544189453125 × 8192)
    floor (6270.5)     		ty = 6270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6798 / 6270 ti = "13/6798/6270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6798/6270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6798 ÷ 213
    6798 ÷ 8192     		x = 0.829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6270 ÷ 213
    6270 ÷ 8192     		y = 0.765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829833984375 × 2 - 1) × π
    0.65966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07240804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.53076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66743711638403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07240804} λ = 2.07240804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66743711638403))-π/2
    2×atan(0.18873013972594)-π/2
    2×0.186536046103252-π/2
    0.373072092206504-1.57079632675     		φ = -1.19772423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07240804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.740234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19772423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.624543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6798 KachelY 6270 2.07240804 -1.19772423 118.740234 -68.624543
    Oben rechts KachelX + 1 6799 KachelY 6270 2.07317503 -1.19772423 118.784179 -68.624543
    Unten links KachelX 6798 KachelY + 1 6271 2.07240804 -1.19800369 118.740234 -68.640555
    Unten rechts KachelX + 1 6799 KachelY + 1 6271 2.07317503 -1.19800369 118.784179 -68.640555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19772423--1.19800369) × R
    0.000279460000000009 × 6371000     		dl = 1780.43966000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19772423--1.19800369) × R
    0.000279460000000009 × 6371000     		dr = 1780.43966000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07240804-2.07317503) × cos(-1.19772423) × R
    0.000766989999999801 × 0.364477920888042 × 6371000     		do = 1781.01891477211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07240804-2.07317503) × cos(-1.19800369) × R
    0.000766989999999801 × 0.364217670144992 × 6371000     		du = 1779.74720126248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19772423)-sin(-1.19800369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364477920888042-0.364217670144992)×R²
    abs(2.07317503-2.07240804)×0.000260250743050305×R²
    0.000766989999999801×0.000260250743050305×6371000²
    0.000766989999999801×0.000260250743050305×40589641000000     		ar = 3169864.62711621m²