Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6798 / 1632
↖ ↑ ↗
← N 80.760615°
W 30.629883°		 ← 392.28 m → N 80.760615°
W 30.607910°		 →
↑
392.33 m
↓
↑
392.33 m
↓
N 80.757086°
W 30.629883°		 ← 392.43 m →
153 932 m²		 N 80.757086°
W 30.607910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414947509765625 y=0.099639892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414947509765625 × 214)
    floor (0.414947509765625 × 16384)
    floor (6798.5)     		tx = 6798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.099639892578125 × 214)
    floor (0.099639892578125 × 16384)
    floor (1632.5)     		ty = 1632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6798 / 1632 ti = "14/6798/1632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6798/1632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6798 ÷ 214
    6798 ÷ 16384     		x = 0.4149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1632 ÷ 214
    1632 ÷ 16384     		y = 0.099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.170166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53459230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099609375 × 2 - 1) × π
    0.80078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53459230} λ = -0.53459230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51572849206055))-π/2
    2×atan(12.3756210377045)-π/2
    2×1.49016747968211-π/2
    2.98033495936421-1.57079632675     		φ = 1.40953863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53459230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.629883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40953863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.760615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6798 KachelY 1632 -0.53459230 1.40953863 -30.629883 80.760615
    Oben rechts KachelX + 1 6799 KachelY 1632 -0.53420881 1.40953863 -30.607910 80.760615
    Unten links KachelX 6798 KachelY + 1 1633 -0.53459230 1.40947705 -30.629883 80.757086
    Unten rechts KachelX + 1 6799 KachelY + 1 1633 -0.53420881 1.40947705 -30.607910 80.757086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40953863-1.40947705) × R
    6.15799999998945e-05 × 6371000     		dl = 392.326179999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40953863-1.40947705) × R
    6.15799999998945e-05 × 6371000     		dr = 392.326179999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53459230--0.53420881) × cos(1.40953863) × R
    0.000383490000000042 × 0.160559712872195 × 6371000     		do = 392.281865167544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53459230--0.53420881) × cos(1.40947705) × R
    0.000383490000000042 × 0.160620493636729 × 6371000     		du = 392.4303656304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40953863)-sin(1.40947705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160559712872195-0.160620493636729)×R²
    abs(-0.53420881--0.53459230)×6.07807645336689e-05×R²
    0.000383490000000042×6.07807645336689e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.07807645336689e-05×40589641000000     		ar = 153931.57600192m²