Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67977 / 69031
↖ ↑ ↗
← S  9.554709°
E  6.704407°		 ← 301.19 m → S  9.554709°
E  6.707153°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.557417°
E  6.704407°		 ← 301.19 m →
90 705 m²		 S  9.557417°
E  6.707153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518627166748047 y=0.526668548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518627166748047 × 217)
    floor (0.518627166748047 × 131072)
    floor (67977.5)     		tx = 67977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526668548583984 × 217)
    floor (0.526668548583984 × 131072)
    floor (69031.5)     		ty = 69031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67977 / 69031 ti = "17/67977/69031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67977/69031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67977 ÷ 217
    67977 ÷ 131072     		x = 0.518623352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69031 ÷ 217
    69031 ÷ 131072     		y = 0.526664733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518623352050781 × 2 - 1) × π
    0.0372467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11701397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526664733886719 × 2 - 1) × π
    -0.0533294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.167539464172096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11701397} λ = 0.11701397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167539464172096))-π/2
    2×atan(0.845743240073471)-π/2
    2×0.702017598822536-π/2
    1.40403519764507-1.57079632675     		φ = -0.16676113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11701397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.704407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16676113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.554709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67977 KachelY 69031 0.11701397 -0.16676113 6.704407 -9.554709
    Oben rechts KachelX + 1 67978 KachelY 69031 0.11706191 -0.16676113 6.707153 -9.554709
    Unten links KachelX 67977 KachelY + 1 69032 0.11701397 -0.16680840 6.704407 -9.557417
    Unten rechts KachelX + 1 67978 KachelY + 1 69032 0.11706191 -0.16680840 6.707153 -9.557417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16676113--0.16680840) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dl = 301.157169999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16676113--0.16680840) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dr = 301.157169999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11701397-0.11706191) × cos(-0.16676113) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986127556061431 × 6371000     		do = 301.188738544518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11701397-0.11706191) × cos(-0.16680840) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986119708646141 × 6371000     		du = 301.186341741896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16676113)-sin(-0.16680840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986127556061431-0.986119708646141)×R²
    abs(0.11706191-0.11701397)×7.84741528969679e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.84741528969679e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.84741528969679e-06×40589641000000     		ar = 90704.7872456404m²