Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67976 / 69029
↖ ↑ ↗
← S  9.549292°
E  6.701660°		 ← 301.13 m → S  9.549292°
E  6.704407°		 →
↑
301.22 m
↓
↑
301.22 m
↓
S  9.552001°
E  6.701660°		 ← 301.13 m →
90 706 m²		 S  9.552001°
E  6.704407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518619537353516 y=0.526653289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518619537353516 × 217)
    floor (0.518619537353516 × 131072)
    floor (67976.5)     		tx = 67976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526653289794922 × 217)
    floor (0.526653289794922 × 131072)
    floor (69029.5)     		ty = 69029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67976 / 69029 ti = "17/67976/69029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67976/69029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67976 ÷ 217
    67976 ÷ 131072     		x = 0.51861572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69029 ÷ 217
    69029 ÷ 131072     		y = 0.526649475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51861572265625 × 2 - 1) × π
    0.0372314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11696604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526649475097656 × 2 - 1) × π
    -0.0532989501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.167443590372856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11696604} λ = 0.11696604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167443590372856))-π/2
    2×atan(0.845824328578148)-π/2
    2×0.702064871096284-π/2
    1.40412974219257-1.57079632675     		φ = -0.16666658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11696604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16666658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.549292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67976 KachelY 69029 0.11696604 -0.16666658 6.701660 -9.549292
    Oben rechts KachelX + 1 67977 KachelY 69029 0.11701397 -0.16666658 6.704407 -9.549292
    Unten links KachelX 67976 KachelY + 1 69030 0.11696604 -0.16671386 6.701660 -9.552001
    Unten rechts KachelX + 1 67977 KachelY + 1 69030 0.11701397 -0.16671386 6.704407 -9.552001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16666658--0.16671386) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dl = 301.220879999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16666658--0.16671386) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dr = 301.220879999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11696604-0.11701397) × cos(-0.16666658) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986143245940586 × 6371000     		do = 301.130703451217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11696604-0.11701397) × cos(-0.16671386) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986135401273265 × 6371000     		du = 301.128307987679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16666658)-sin(-0.16671386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986143245940586-0.986135401273265)×R²
    abs(0.11701397-0.11696604)×7.84466732151046e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.84466732151046e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.84466732151046e-06×40589641000000     		ar = 90706.4947236241m²