Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67975 / 47943
↖ ↑ ↗
← N 43.438960°
E  6.698914°		 ← 221.77 m → N 43.438960°
E  6.701660°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
N 43.436966°
E  6.698914°		 ← 221.78 m →
49 184 m²		 N 43.436966°
E  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518611907958984 y=0.365779876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518611907958984 × 217)
    floor (0.518611907958984 × 131072)
    floor (67975.5)     		tx = 67975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365779876708984 × 217)
    floor (0.365779876708984 × 131072)
    floor (47943.5)     		ty = 47943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67975 / 47943 ti = "17/67975/47943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67975/47943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67975 ÷ 217
    67975 ÷ 131072     		x = 0.518608093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47943 ÷ 217
    47943 ÷ 131072     		y = 0.365776062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518608093261719 × 2 - 1) × π
    0.0372161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11691810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365776062011719 × 2 - 1) × π
    0.268447875976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.843353875015648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11691810} λ = 0.11691810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843353875015648))-π/2
    2×atan(2.3241488244894)-π/2
    2×1.16447460392662-π/2
    2.32894920785324-1.57079632675     		φ = 0.75815288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11691810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.698914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75815288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.438960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67975 KachelY 47943 0.11691810 0.75815288 6.698914 43.438960
    Oben rechts KachelX + 1 67976 KachelY 47943 0.11696604 0.75815288 6.701660 43.438960
    Unten links KachelX 67975 KachelY + 1 47944 0.11691810 0.75811807 6.698914 43.436966
    Unten rechts KachelX + 1 67976 KachelY + 1 47944 0.11696604 0.75811807 6.701660 43.436966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75815288-0.75811807) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75815288-0.75811807) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11691810-0.11696604) × cos(0.75815288) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726107294080638 × 6371000     		do = 221.771857613959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11691810-0.11696604) × cos(0.75811807) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726131228349643 × 6371000     		du = 221.779167755782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75815288)-sin(0.75811807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726107294080638-0.726131228349643)×R²
    abs(0.11696604-0.11691810)×2.39342690053768e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39342690053768e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39342690053768e-05×40589641000000     		ar = 49184.1556607749m²