Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67974 / 69506
S 10.838701°
E  6.696167°
← 299.98 m → S 10.838701°
E  6.698914°

299.95 m

299.95 m
S 10.841399°
E  6.696167°
← 299.97 m →
89 977 m²
S 10.841399°
E  6.698914°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518604278564453 y=0.530292510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518604278564453 × 217)
    floor (0.518604278564453 × 131072)
    floor (67974.5)
    tx = 67974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530292510986328 × 217)
    floor (0.530292510986328 × 131072)
    floor (69506.5)
    ty = 69506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67974 / 69506 ti = "17/67974/69506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67974/69506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67974 ÷ 217
    67974 ÷ 131072
    x = 0.518600463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69506 ÷ 217
    69506 ÷ 131072
    y = 0.530288696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.518600463867188 × 2 - 1) × π
    0.037200927734375 × 3.1415926535
    Λ = 0.11687016
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.530288696289062 × 2 - 1) × π
    -0.060577392578125 × 3.1415926535
    Φ = -0.190309491491623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11687016} λ = 0.11687016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190309491491623))-π/2
    2×atan(0.826703236728535)-π/2
    2×0.690812652103236-π/2
    1.38162530420647-1.57079632675
    φ = -0.18917102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11687016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.696167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18917102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.838701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67974 KachelY 69506 0.11687016 -0.18917102 6.696167 -10.838701
    Oben rechts KachelX + 1 67975 KachelY 69506 0.11691810 -0.18917102 6.698914 -10.838701
    Unten links KachelX 67974 KachelY + 1 69507 0.11687016 -0.18921810 6.696167 -10.841399
    Unten rechts KachelX + 1 67975 KachelY + 1 69507 0.11691810 -0.18921810 6.698914 -10.841399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.18917102--0.18921810) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000
    dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.18917102--0.18921810) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000
    dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.11687016-0.11691810) × cos(-0.18917102) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982160457925611 × 6371000
    do = 299.977084660646m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.11687016-0.11691810) × cos(-0.18921810) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98215160368943 × 6371000
    du = 299.974380349008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.18917102)-sin(-0.18921810))×
    abs(λ12)×abs(0.982160457925611-0.98215160368943)×
    abs(0.11691810-0.11687016)×8.85423618079972e-06×
    4.79399999999963e-05×8.85423618079972e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.85423618079972e-06×40589641000000
    ar = 89976.7250620244m²