Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67973 / 98946
↖ ↑ ↗
← S 67.206161°
E  6.693420°		 ← 118.33 m → S 67.206161°
E  6.696167°		 →
↑
118.31 m
↓
↑
118.31 m
↓
S 67.207225°
E  6.693420°		 ← 118.32 m →
13 999 m²		 S 67.207225°
E  6.696167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518596649169922 y=0.754901885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518596649169922 × 217)
    floor (0.518596649169922 × 131072)
    floor (67973.5)     		tx = 67973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754901885986328 × 217)
    floor (0.754901885986328 × 131072)
    floor (98946.5)     		ty = 98946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67973 / 98946 ti = "17/67973/98946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67973/98946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67973 ÷ 217
    67973 ÷ 131072     		x = 0.518592834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98946 ÷ 217
    98946 ÷ 131072     		y = 0.754898071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518592834472656 × 2 - 1) × π
    0.0371856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11682222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754898071289062 × 2 - 1) × π
    -0.509796142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60157181630608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11682222} λ = 0.11682222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60157181630608))-π/2
    2×atan(0.201579423028335)-π/2
    2×0.198913773536895-π/2
    0.397827547073789-1.57079632675     		φ = -1.17296878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11682222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.693420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17296878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.206161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67973 KachelY 98946 0.11682222 -1.17296878 6.693420 -67.206161
    Oben rechts KachelX + 1 67974 KachelY 98946 0.11687016 -1.17296878 6.696167 -67.206161
    Unten links KachelX 67973 KachelY + 1 98947 0.11682222 -1.17298735 6.693420 -67.207225
    Unten rechts KachelX + 1 67974 KachelY + 1 98947 0.11687016 -1.17298735 6.696167 -67.207225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17296878--1.17298735) × R
    1.85700000001621e-05 × 6371000     		dl = 118.309470001033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17296878--1.17298735) × R
    1.85700000001621e-05 × 6371000     		dr = 118.309470001033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11682222-0.11687016) × cos(-1.17296878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387416463034196 × 6371000     		do = 118.326959910393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11682222-0.11687016) × cos(-1.17298735) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387399343195021 × 6371000     		du = 118.321731070844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17296878)-sin(-1.17298735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387416463034196-0.387399343195021)×R²
    abs(0.11687016-0.11682222)×1.71198391752392e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71198391752392e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71198391752392e-05×40589641000000     		ar = 13998.8906034578m²