Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67973 / 69257
↖ ↑ ↗
← S 10.166264°
E  6.693420°		 ← 300.63 m → S 10.166264°
E  6.696167°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
S 10.168967°
E  6.693420°		 ← 300.63 m →
90 364 m²		 S 10.168967°
E  6.696167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518596649169922 y=0.528392791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518596649169922 × 217)
    floor (0.518596649169922 × 131072)
    floor (67973.5)     		tx = 67973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528392791748047 × 217)
    floor (0.528392791748047 × 131072)
    floor (69257.5)     		ty = 69257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67973 / 69257 ti = "17/67973/69257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67973/69257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67973 ÷ 217
    67973 ÷ 131072     		x = 0.518592834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69257 ÷ 217
    69257 ÷ 131072     		y = 0.528388977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518592834472656 × 2 - 1) × π
    0.0371856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11682222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528388977050781 × 2 - 1) × π
    -0.0567779541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.178373203486229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11682222} λ = 0.11682222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178373203486229))-π/2
    2×atan(0.836630131936322)-π/2
    2×0.696680775861035-π/2
    1.39336155172207-1.57079632675     		φ = -0.17743478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11682222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.693420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17743478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.166264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67973 KachelY 69257 0.11682222 -0.17743478 6.693420 -10.166264
    Oben rechts KachelX + 1 67974 KachelY 69257 0.11687016 -0.17743478 6.696167 -10.166264
    Unten links KachelX 67973 KachelY + 1 69258 0.11682222 -0.17748196 6.693420 -10.168967
    Unten rechts KachelX + 1 67974 KachelY + 1 69258 0.11687016 -0.17748196 6.696167 -10.168967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17743478--0.17748196) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dl = 300.58378000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17743478--0.17748196) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dr = 300.58378000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11682222-0.11687016) × cos(-0.17743478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984299705508852 × 6371000     		do = 300.6304659368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11682222-0.11687016) × cos(-0.17748196) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984291376897468 × 6371000     		du = 300.627922164505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17743478)-sin(-0.17748196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984299705508852-0.984291376897468)×R²
    abs(0.11687016-0.11682222)×8.32861138411189e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.32861138411189e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.32861138411189e-06×40589641000000     		ar = 90364.2595429019m²