Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67973 / 47944
↖ ↑ ↗
← N 43.436966°
E  6.693420°		 ← 221.78 m → N 43.436966°
E  6.696167°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
N 43.434971°
E  6.693420°		 ← 221.79 m →
49 186 m²		 N 43.434971°
E  6.696167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518596649169922 y=0.365787506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518596649169922 × 217)
    floor (0.518596649169922 × 131072)
    floor (67973.5)     		tx = 67973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365787506103516 × 217)
    floor (0.365787506103516 × 131072)
    floor (47944.5)     		ty = 47944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67973 / 47944 ti = "17/67973/47944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67973/47944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67973 ÷ 217
    67973 ÷ 131072     		x = 0.518592834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47944 ÷ 217
    47944 ÷ 131072     		y = 0.36578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518592834472656 × 2 - 1) × π
    0.0371856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11682222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36578369140625 × 2 - 1) × π
    0.2684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.843305938116028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11682222} λ = 0.11682222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843305938116028))-π/2
    2×atan(2.32403741467084)-π/2
    2×1.16445719997358-π/2
    2.32891439994717-1.57079632675     		φ = 0.75811807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11682222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.693420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75811807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.436966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67973 KachelY 47944 0.11682222 0.75811807 6.693420 43.436966
    Oben rechts KachelX + 1 67974 KachelY 47944 0.11687016 0.75811807 6.696167 43.436966
    Unten links KachelX 67973 KachelY + 1 47945 0.11682222 0.75808326 6.693420 43.434971
    Unten rechts KachelX + 1 67974 KachelY + 1 47945 0.11687016 0.75808326 6.696167 43.434971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75811807-0.75808326) × R
    3.48099999999407e-05 × 6371000     		dl = 221.774509999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75811807-0.75808326) × R
    3.48099999999407e-05 × 6371000     		dr = 221.774509999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11682222-0.11687016) × cos(0.75811807) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726131228349643 × 6371000     		do = 221.779167755782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11682222-0.11687016) × cos(0.75808326) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.726155161738769 × 6371000     		du = 221.786477628866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75811807)-sin(0.75808326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726131228349643-0.726155161738769)×R²
    abs(0.11687016-0.11682222)×2.39333891258742e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39333891258742e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39333891258742e-05×40589641000000     		ar = 49185.7768338215m²