Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67972 / 69519
↖ ↑ ↗
← S 10.873768°
E  6.690674°		 ← 299.88 m → S 10.873768°
E  6.693420°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.876465°
E  6.690674°		 ← 299.88 m →
89 947 m²		 S 10.876465°
E  6.693420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518589019775391 y=0.530391693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518589019775391 × 217)
    floor (0.518589019775391 × 131072)
    floor (67972.5)     		tx = 67972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530391693115234 × 217)
    floor (0.530391693115234 × 131072)
    floor (69519.5)     		ty = 69519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67972 / 69519 ti = "17/67972/69519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67972/69519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67972 ÷ 217
    67972 ÷ 131072     		x = 0.518585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69519 ÷ 217
    69519 ÷ 131072     		y = 0.530387878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518585205078125 × 2 - 1) × π
    0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530387878417969 × 2 - 1) × π
    -0.0607757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.190932671186684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11677429} λ = 0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190932671186684))-π/2
    2×atan(0.826188212550537)-π/2
    2×0.690506638825696-π/2
    1.38101327765139-1.57079632675     		φ = -0.18978305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18978305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.873768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67972 KachelY 69519 0.11677429 -0.18978305 6.690674 -10.873768
    Oben rechts KachelX + 1 67973 KachelY 69519 0.11682222 -0.18978305 6.693420 -10.873768
    Unten links KachelX 67972 KachelY + 1 69520 0.11677429 -0.18983013 6.690674 -10.876465
    Unten rechts KachelX + 1 67973 KachelY + 1 69520 0.11682222 -0.18983013 6.693420 -10.876465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18978305--0.18983013) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18978305--0.18983013) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(-0.18978305) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982045184944069 × 6371000     		do = 299.879311226256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(-0.18983013) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982036302409338 × 6371000     		du = 299.876598837419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18978305)-sin(-0.18983013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982045184944069-0.982036302409338)×R²
    abs(0.11682222-0.11677429)×8.88253473052547e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.88253473052547e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.88253473052547e-06×40589641000000     		ar = 89947.3970336397m²