Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67972 / 69043
↖ ↑ ↗
← S  9.587209°
E  6.690674°		 ← 301.10 m → S  9.587209°
E  6.693420°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.589917°
E  6.690674°		 ← 301.09 m →
90 677 m²		 S  9.589917°
E  6.693420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518589019775391 y=0.526760101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518589019775391 × 217)
    floor (0.518589019775391 × 131072)
    floor (67972.5)     		tx = 67972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526760101318359 × 217)
    floor (0.526760101318359 × 131072)
    floor (69043.5)     		ty = 69043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67972 / 69043 ti = "17/67972/69043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67972/69043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67972 ÷ 217
    67972 ÷ 131072     		x = 0.518585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69043 ÷ 217
    69043 ÷ 131072     		y = 0.526756286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518585205078125 × 2 - 1) × π
    0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526756286621094 × 2 - 1) × π
    -0.0535125732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.168114706967537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11677429} λ = 0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168114706967537))-π/2
    2×atan(0.845256872271025)-π/2
    2×0.701733980992418-π/2
    1.40346796198484-1.57079632675     		φ = -0.16732836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16732836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.587209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67972 KachelY 69043 0.11677429 -0.16732836 6.690674 -9.587209
    Oben rechts KachelX + 1 67973 KachelY 69043 0.11682222 -0.16732836 6.693420 -9.587209
    Unten links KachelX 67972 KachelY + 1 69044 0.11677429 -0.16737563 6.690674 -9.589917
    Unten rechts KachelX + 1 67973 KachelY + 1 69044 0.11682222 -0.16737563 6.693420 -9.589917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16732836--0.16737563) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dl = 301.157169999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16732836--0.16737563) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dr = 301.157169999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(-0.16732836) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986033243320391 × 6371000     		do = 301.097112827808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(-0.16737563) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98602536946547 × 6371000     		du = 301.094708451486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16732836)-sin(-0.16737563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986033243320391-0.98602536946547)×R²
    abs(0.11682222-0.11677429)×7.87385492140302e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.87385492140302e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.87385492140302e-06×40589641000000     		ar = 90677.1923636516m²