Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67972 / 68999
↖ ↑ ↗
← S  9.468027°
E  6.690674°		 ← 301.20 m → S  9.468027°
E  6.693420°		 →
↑
301.22 m
↓
↑
301.22 m
↓
S  9.470736°
E  6.690674°		 ← 301.20 m →
90 728 m²		 S  9.470736°
E  6.693420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518589019775391 y=0.526424407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518589019775391 × 217)
    floor (0.518589019775391 × 131072)
    floor (67972.5)     		tx = 67972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526424407958984 × 217)
    floor (0.526424407958984 × 131072)
    floor (68999.5)     		ty = 68999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67972 / 68999 ti = "17/67972/68999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67972/68999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67972 ÷ 217
    67972 ÷ 131072     		x = 0.518585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68999 ÷ 217
    68999 ÷ 131072     		y = 0.526420593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518585205078125 × 2 - 1) × π
    0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526420593261719 × 2 - 1) × π
    -0.0528411865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.166005483384254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11677429} λ = 0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166005483384254))-π/2
    2×atan(0.847041589522151)-π/2
    2×0.70277404519757-π/2
    1.40554809039514-1.57079632675     		φ = -0.16524824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16524824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.468027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67972 KachelY 68999 0.11677429 -0.16524824 6.690674 -9.468027
    Oben rechts KachelX + 1 67973 KachelY 68999 0.11682222 -0.16524824 6.693420 -9.468027
    Unten links KachelX 67972 KachelY + 1 69000 0.11677429 -0.16529552 6.690674 -9.470736
    Unten rechts KachelX + 1 67973 KachelY + 1 69000 0.11682222 -0.16529552 6.693420 -9.470736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16524824--0.16529552) × R
    4.72800000000106e-05 × 6371000     		dl = 301.220880000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16524824--0.16529552) × R
    4.72800000000106e-05 × 6371000     		dr = 301.220880000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(-0.16524824) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986377550955044 × 6371000     		do = 301.202251306071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11677429-0.11682222) × cos(-0.16529552) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986369772425222 × 6371000     		du = 301.199876038414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16524824)-sin(-0.16529552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986377550955044-0.986369772425222)×R²
    abs(0.11682222-0.11677429)×7.77852982269955e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.77852982269955e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.77852982269955e-06×40589641000000     		ar = 90728.0494732239m²