Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6797 / 6269
↖ ↑ ↗
← S 68.608521°
E118.696289°		 ← 1 782.29 m → S 68.608521°
E118.740234°		 →
↑
1 781.65 m
↓
↑
1 781.65 m
↓
S 68.624543°
E118.696289°		 ← 1 781.02 m →
3 174 286 m²		 S 68.624543°
E118.740234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82977294921875 y=0.76531982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82977294921875 × 213)
    floor (0.82977294921875 × 8192)
    floor (6797.5)     		tx = 6797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76531982421875 × 213)
    floor (0.76531982421875 × 8192)
    floor (6269.5)     		ty = 6269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6797 / 6269 ti = "13/6797/6269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6797/6269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6797 ÷ 213
    6797 ÷ 8192     		x = 0.8297119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6269 ÷ 213
    6269 ÷ 8192     		y = 0.7652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8297119140625 × 2 - 1) × π
    0.659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07164105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66667012599011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07164105} λ = 2.07164105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66667012599011))-π/2
    2×atan(0.188874949456891)-π/2
    2×0.186675871559722-π/2
    0.373351743119444-1.57079632675     		φ = -1.19744458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07164105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.696289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19744458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.608521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6797 KachelY 6269 2.07164105 -1.19744458 118.696289 -68.608521
    Oben rechts KachelX + 1 6798 KachelY 6269 2.07240804 -1.19744458 118.740234 -68.608521
    Unten links KachelX 6797 KachelY + 1 6270 2.07164105 -1.19772423 118.696289 -68.624543
    Unten rechts KachelX + 1 6798 KachelY + 1 6270 2.07240804 -1.19772423 118.740234 -68.624543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19744458--1.19772423) × R
    0.000279649999999965 × 6371000     		dl = 1781.65014999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19744458--1.19772423) × R
    0.000279649999999965 × 6371000     		dr = 1781.65014999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07164105-2.07240804) × cos(-1.19744458) × R
    0.000766989999999801 × 0.364738320077055 × 6371000     		do = 1782.29135366194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07164105-2.07240804) × cos(-1.19772423) × R
    0.000766989999999801 × 0.364477920888042 × 6371000     		du = 1781.01891477211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19744458)-sin(-1.19772423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364738320077055-0.364477920888042)×R²
    abs(2.07240804-2.07164105)×0.000260399189012606×R²
    0.000766989999999801×0.000260399189012606×6371000²
    0.000766989999999801×0.000260399189012606×40589641000000     		ar = 3174286.15781099m²