Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67968 / 69516
↖ ↑ ↗
← S 10.865676°
E  6.679688°		 ← 299.95 m → S 10.865676°
E  6.682434°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.868373°
E  6.679688°		 ← 299.95 m →
89 969 m²		 S 10.868373°
E  6.682434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518558502197266 y=0.530368804931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518558502197266 × 217)
    floor (0.518558502197266 × 131072)
    floor (67968.5)     		tx = 67968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530368804931641 × 217)
    floor (0.530368804931641 × 131072)
    floor (69516.5)     		ty = 69516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67968 / 69516 ti = "17/67968/69516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67968/69516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67968 ÷ 217
    67968 ÷ 131072     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69516 ÷ 217
    69516 ÷ 131072     		y = 0.530364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.06072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.190788860487823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190788860487823))-π/2
    2×atan(0.826307035798597)-π/2
    2×0.690577254085519-π/2
    1.38115450817104-1.57079632675     		φ = -0.18964182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18964182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.865676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67968 KachelY 69516 0.11658254 -0.18964182 6.679688 -10.865676
    Oben rechts KachelX + 1 67969 KachelY 69516 0.11663048 -0.18964182 6.682434 -10.865676
    Unten links KachelX 67968 KachelY + 1 69517 0.11658254 -0.18968890 6.679688 -10.868373
    Unten rechts KachelX + 1 67969 KachelY + 1 69517 0.11663048 -0.18968890 6.682434 -10.868373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18964182--0.18968890) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dl = 299.946680000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18964182--0.18968890) × R
    4.70800000000049e-05 × 6371000     		dr = 299.946680000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11663048) × cos(-0.18964182) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982071817602736 × 6371000     		do = 299.950011624438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11663048) × cos(-0.18968890) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982062941597789 × 6371000     		du = 299.947300664058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18964182)-sin(-0.18968890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982071817602736-0.982062941597789)×R²
    abs(0.11663048-0.11658254)×8.87600494658969e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.87600494658969e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.87600494658969e-06×40589641000000     		ar = 89968.6035975214m²