Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67967 / 68993
↖ ↑ ↗
← S  9.451771°
E  6.676941°		 ← 301.28 m → S  9.451771°
E  6.679688°		 →
↑
301.22 m
↓
↑
301.22 m
↓
S  9.454480°
E  6.676941°		 ← 301.28 m →
90 751 m²		 S  9.454480°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518550872802734 y=0.526378631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518550872802734 × 217)
    floor (0.518550872802734 × 131072)
    floor (67967.5)     		tx = 67967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526378631591797 × 217)
    floor (0.526378631591797 × 131072)
    floor (68993.5)     		ty = 68993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67967 / 68993 ti = "17/67967/68993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67967/68993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67967 ÷ 217
    67967 ÷ 131072     		x = 0.518547058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68993 ÷ 217
    68993 ÷ 131072     		y = 0.526374816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518547058105469 × 2 - 1) × π
    0.0370941162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11653460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526374816894531 × 2 - 1) × π
    -0.0527496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.165717861986534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11653460} λ = 0.11653460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165717861986534))-π/2
    2×atan(0.847285251847626)-π/2
    2×0.702915900196455-π/2
    1.40583180039291-1.57079632675     		φ = -0.16496453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11653460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.676941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16496453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.451771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67967 KachelY 68993 0.11653460 -0.16496453 6.676941 -9.451771
    Oben rechts KachelX + 1 67968 KachelY 68993 0.11658254 -0.16496453 6.679688 -9.451771
    Unten links KachelX 67967 KachelY + 1 68994 0.11653460 -0.16501181 6.676941 -9.454480
    Unten rechts KachelX + 1 67968 KachelY + 1 68994 0.11658254 -0.16501181 6.679688 -9.454480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16496453--0.16501181) × R
    4.72800000000106e-05 × 6371000     		dl = 301.220880000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16496453--0.16501181) × R
    4.72800000000106e-05 × 6371000     		dr = 301.220880000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11653460-0.11658254) × cos(-0.16496453) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98642418075601 × 6371000     		do = 301.279335361275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11653460-0.11658254) × cos(-0.16501181) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986416415457528 × 6371000     		du = 301.27696363924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16496453)-sin(-0.16501181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98642418075601-0.986416415457528)×R²
    abs(0.11658254-0.11653460)×7.7652984820098e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.7652984820098e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.7652984820098e-06×40589641000000     		ar = 90751.2693341462m²