Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67967 / 68992
↖ ↑ ↗
← S  9.449062°
E  6.676941°		 ← 301.28 m → S  9.449062°
E  6.679688°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.451771°
E  6.676941°		 ← 301.28 m →
90 771 m²		 S  9.451771°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518550872802734 y=0.526371002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518550872802734 × 217)
    floor (0.518550872802734 × 131072)
    floor (67967.5)     		tx = 67967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526371002197266 × 217)
    floor (0.526371002197266 × 131072)
    floor (68992.5)     		ty = 68992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67967 / 68992 ti = "17/67967/68992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67967/68992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67967 ÷ 217
    67967 ÷ 131072     		x = 0.518547058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68992 ÷ 217
    68992 ÷ 131072     		y = 0.5263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518547058105469 × 2 - 1) × π
    0.0370941162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11653460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5263671875 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.165669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11653460} λ = 0.11653460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165669925086914))-π/2
    2×atan(0.847325869049217)-π/2
    2×0.702939543347988-π/2
    1.40587908669598-1.57079632675     		φ = -0.16491724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11653460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.676941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16491724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.449062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67967 KachelY 68992 0.11653460 -0.16491724 6.676941 -9.449062
    Oben rechts KachelX + 1 67968 KachelY 68992 0.11658254 -0.16491724 6.679688 -9.449062
    Unten links KachelX 67967 KachelY + 1 68993 0.11653460 -0.16496453 6.676941 -9.451771
    Unten rechts KachelX + 1 67968 KachelY + 1 68993 0.11658254 -0.16496453 6.679688 -9.451771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16491724--0.16496453) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dl = 301.284590000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16491724--0.16496453) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dr = 301.284590000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11653460-0.11658254) × cos(-0.16491724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986431945491148 × 6371000     		do = 301.28170691125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11653460-0.11658254) × cos(-0.16496453) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98642418075601 × 6371000     		du = 301.279335361275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16491724)-sin(-0.16496453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986431945491148-0.98642418075601)×R²
    abs(0.11658254-0.11653460)×7.76473513808273e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.76473513808273e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.76473513808273e-06×40589641000000     		ar = 90771.1783024506m²