Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67966 / 68700
↖ ↑ ↗
← S  8.657057°
E  6.674195°		 ← 301.88 m → S  8.657057°
E  6.676941°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.659772°
E  6.674195°		 ← 301.88 m →
91 145 m²		 S  8.659772°
E  6.676941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518543243408203 y=0.524143218994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518543243408203 × 217)
    floor (0.518543243408203 × 131072)
    floor (67966.5)     		tx = 67966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524143218994141 × 217)
    floor (0.524143218994141 × 131072)
    floor (68700.5)     		ty = 68700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67966 / 68700 ti = "17/67966/68700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67966/68700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67966 ÷ 217
    67966 ÷ 131072     		x = 0.518539428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68700 ÷ 217
    68700 ÷ 131072     		y = 0.524139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518539428710938 × 2 - 1) × π
    0.037078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11648667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.04827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.151672350397858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11648667} λ = 0.11648667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151672350397858))-π/2
    2×atan(0.859269774022616)-π/2
    2×0.709851089321191-π/2
    1.41970217864238-1.57079632675     		φ = -0.15109415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11648667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.674195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15109415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.657057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67966 KachelY 68700 0.11648667 -0.15109415 6.674195 -8.657057
    Oben rechts KachelX + 1 67967 KachelY 68700 0.11653460 -0.15109415 6.676941 -8.657057
    Unten links KachelX 67966 KachelY + 1 68701 0.11648667 -0.15114154 6.674195 -8.659772
    Unten rechts KachelX + 1 67967 KachelY + 1 68701 0.11653460 -0.15114154 6.676941 -8.659772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15109415--0.15114154) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dl = 301.921689999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15109415--0.15114154) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dr = 301.921689999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11648667-0.11653460) × cos(-0.15109415) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9886069783754 × 6371000     		do = 301.883033788888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11648667-0.11653460) × cos(-0.15114154) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988599844126912 × 6371000     		du = 301.880855260288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15109415)-sin(-0.15114154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9886069783754-0.988599844126912)×R²
    abs(0.11653460-0.11648667)×7.13424848775013e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.13424848775013e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.13424848775013e-06×40589641000000     		ar = 91144.7068883795m²