Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67964 / 43666
↖ ↑ ↗
← N 51.368351°
E  6.668701°		 ← 190.68 m → N 51.368351°
E  6.671448°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
N 51.366636°
E  6.668701°		 ← 190.69 m →
36 360 m²		 N 51.366636°
E  6.671448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518527984619141 y=0.333148956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518527984619141 × 217)
    floor (0.518527984619141 × 131072)
    floor (67964.5)     		tx = 67964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333148956298828 × 217)
    floor (0.333148956298828 × 131072)
    floor (43666.5)     		ty = 43666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67964 / 43666 ti = "17/67964/43666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67964/43666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67964 ÷ 217
    67964 ÷ 131072     		x = 0.518524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43666 ÷ 217
    43666 ÷ 131072     		y = 0.333145141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518524169921875 × 2 - 1) × π
    0.03704833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11639079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333145141601562 × 2 - 1) × π
    0.333709716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04837999469063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11639079} λ = 0.11639079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04837999469063))-π/2
    2×atan(2.85302545588985)-π/2
    2×1.23367159205122-π/2
    2.46734318410243-1.57079632675     		φ = 0.89654686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11639079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.668701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89654686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.368351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67964 KachelY 43666 0.11639079 0.89654686 6.668701 51.368351
    Oben rechts KachelX + 1 67965 KachelY 43666 0.11643873 0.89654686 6.671448 51.368351
    Unten links KachelX 67964 KachelY + 1 43667 0.11639079 0.89651693 6.668701 51.366636
    Unten rechts KachelX + 1 67965 KachelY + 1 43667 0.11643873 0.89651693 6.671448 51.366636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89654686-0.89651693) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dl = 190.684029999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89654686-0.89651693) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dr = 190.684029999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11639079-0.11643873) × cos(0.89654686) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.624311194290081 × 6371000     		do = 190.680708506372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11639079-0.11643873) × cos(0.89651693) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.624334574600267 × 6371000     		du = 190.687849454912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89654686)-sin(0.89651693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624311194290081-0.624334574600267)×R²
    abs(0.11643873-0.11639079)×2.33803101860053e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.33803101860053e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.33803101860053e-05×40589641000000     		ar = 36360.4467763941m²