Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67963 / 69001
↖ ↑ ↗
← S  9.473445°
E  6.665955°		 ← 301.20 m → S  9.473445°
E  6.668701°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.476154°
E  6.665955°		 ← 301.20 m →
90 746 m²		 S  9.476154°
E  6.668701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518520355224609 y=0.526439666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518520355224609 × 217)
    floor (0.518520355224609 × 131072)
    floor (67963.5)     		tx = 67963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526439666748047 × 217)
    floor (0.526439666748047 × 131072)
    floor (69001.5)     		ty = 69001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67963 / 69001 ti = "17/67963/69001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67963/69001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67963 ÷ 217
    67963 ÷ 131072     		x = 0.518516540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69001 ÷ 217
    69001 ÷ 131072     		y = 0.526435852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518516540527344 × 2 - 1) × π
    0.0370330810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11634286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526435852050781 × 2 - 1) × π
    -0.0528717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.166101357183495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11634286} λ = 0.11634286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166101357183495))-π/2
    2×atan(0.846960384319636)-π/2
    2×0.702726761688819-π/2
    1.40545352337764-1.57079632675     		φ = -0.16534280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11634286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.665955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16534280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.473445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67963 KachelY 69001 0.11634286 -0.16534280 6.665955 -9.473445
    Oben rechts KachelX + 1 67964 KachelY 69001 0.11639079 -0.16534280 6.668701 -9.473445
    Unten links KachelX 67963 KachelY + 1 69002 0.11634286 -0.16539009 6.665955 -9.476154
    Unten rechts KachelX + 1 67964 KachelY + 1 69002 0.11639079 -0.16539009 6.668701 -9.476154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16534280--0.16539009) × R
    4.72899999999776e-05 × 6371000     		dl = 301.284589999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16534280--0.16539009) × R
    4.72899999999776e-05 × 6371000     		dr = 301.284589999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11634286-0.11639079) × cos(-0.16534280) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.98636199169047 × 6371000     		do = 301.197500097368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11634286-0.11639079) × cos(-0.16539009) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.986354207104434 × 6371000     		du = 301.195122980373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16534280)-sin(-0.16539009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98636199169047-0.986354207104434)×R²
    abs(0.11639079-0.11634286)×7.78458603523102e-06×R²
    4.79299999999877e-05×7.78458603523102e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×7.78458603523102e-06×40589641000000     		ar = 90745.8072483838m²