Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67959 / 69330
↖ ↑ ↗
← S 10.363555°
E  6.654968°		 ← 300.38 m → S 10.363555°
E  6.657715°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.366257°
E  6.654968°		 ← 300.38 m →
90 232 m²		 S 10.366257°
E  6.657715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518489837646484 y=0.528949737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518489837646484 × 217)
    floor (0.518489837646484 × 131072)
    floor (67959.5)     		tx = 67959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528949737548828 × 217)
    floor (0.528949737548828 × 131072)
    floor (69330.5)     		ty = 69330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67959 / 69330 ti = "17/67959/69330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67959/69330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67959 ÷ 217
    67959 ÷ 131072     		x = 0.518486022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69330 ÷ 217
    69330 ÷ 131072     		y = 0.528945922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518486022949219 × 2 - 1) × π
    0.0369720458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11615111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528945922851562 × 2 - 1) × π
    -0.057891845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.181872597158493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11615111} λ = 0.11615111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181872597158493))-π/2
    2×atan(0.833707550360769)-π/2
    2×0.694959084948456-π/2
    1.38991816989691-1.57079632675     		φ = -0.18087816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11615111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.654968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18087816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.363555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67959 KachelY 69330 0.11615111 -0.18087816 6.654968 -10.363555
    Oben rechts KachelX + 1 67960 KachelY 69330 0.11619904 -0.18087816 6.657715 -10.363555
    Unten links KachelX 67959 KachelY + 1 69331 0.11615111 -0.18092531 6.654968 -10.366257
    Unten rechts KachelX + 1 67960 KachelY + 1 69331 0.11619904 -0.18092531 6.657715 -10.366257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18087816--0.18092531) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18087816--0.18092531) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11615111-0.11619904) × cos(-0.18087816) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983686096845249 × 6371000     		do = 300.380383415452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11615111-0.11619904) × cos(-0.18092531) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98367761377441 × 6371000     		du = 300.37779300772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18087816)-sin(-0.18092531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983686096845249-0.98367761377441)×R²
    abs(0.11619904-0.11615111)×8.48307083933797e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.48307083933797e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.48307083933797e-06×40589641000000     		ar = 90231.6703291672m²