Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67958 / 69342
↖ ↑ ↗
← S 10.395975°
E  6.652222°		 ← 300.41 m → S 10.395975°
E  6.654968°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.398676°
E  6.652222°		 ← 300.41 m →
90 241 m²		 S 10.398676°
E  6.654968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518482208251953 y=0.529041290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518482208251953 × 217)
    floor (0.518482208251953 × 131072)
    floor (67958.5)     		tx = 67958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529041290283203 × 217)
    floor (0.529041290283203 × 131072)
    floor (69342.5)     		ty = 69342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67958 / 69342 ti = "17/67958/69342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67958/69342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67958 ÷ 217
    67958 ÷ 131072     		x = 0.518478393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69342 ÷ 217
    69342 ÷ 131072     		y = 0.529037475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518478393554688 × 2 - 1) × π
    0.036956787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11610317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529037475585938 × 2 - 1) × π
    -0.058074951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.182447839953934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11610317} λ = 0.11610317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182447839953934))-π/2
    2×atan(0.83322810401117)-π/2
    2×0.694676170431893-π/2
    1.38935234086379-1.57079632675     		φ = -0.18144399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11610317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.652222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18144399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.395975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67958 KachelY 69342 0.11610317 -0.18144399 6.652222 -10.395975
    Oben rechts KachelX + 1 67959 KachelY 69342 0.11615111 -0.18144399 6.654968 -10.395975
    Unten links KachelX 67958 KachelY + 1 69343 0.11610317 -0.18149114 6.652222 -10.398676
    Unten rechts KachelX + 1 67959 KachelY + 1 69343 0.11615111 -0.18149114 6.654968 -10.398676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18144399--0.18149114) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18144399--0.18149114) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11610317-0.11615111) × cos(-0.18144399) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983584150254663 × 6371000     		do = 300.411916943779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11610317-0.11615111) × cos(-0.18149114) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983575640941649 × 6371000     		du = 300.409317980554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18144399)-sin(-0.18149114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983584150254663-0.983575640941649)×R²
    abs(0.11615111-0.11610317)×8.5093130145486e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.5093130145486e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.5093130145486e-06×40589641000000     		ar = 90241.1414843265m²