Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67956 / 69540
↖ ↑ ↗
← S 10.930405°
E  6.646729°		 ← 299.82 m → S 10.930405°
E  6.649475°		 →
↑
299.82 m
↓
↑
299.82 m
↓
S 10.933102°
E  6.646729°		 ← 299.82 m →
89 892 m²		 S 10.933102°
E  6.649475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518466949462891 y=0.530551910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518466949462891 × 217)
    floor (0.518466949462891 × 131072)
    floor (67956.5)     		tx = 67956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530551910400391 × 217)
    floor (0.530551910400391 × 131072)
    floor (69540.5)     		ty = 69540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67956 / 69540 ti = "17/67956/69540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67956/69540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67956 ÷ 217
    67956 ÷ 131072     		x = 0.518463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69540 ÷ 217
    69540 ÷ 131072     		y = 0.530548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518463134765625 × 2 - 1) × π
    0.03692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11600730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.06109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.191939346078705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11600730} λ = 0.11600730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191939346078705))-π/2
    2×atan(0.825356928107669)-π/2
    2×0.690012385722924-π/2
    1.38002477144585-1.57079632675     		φ = -0.19077156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11600730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.646729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19077156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.930405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67956 KachelY 69540 0.11600730 -0.19077156 6.646729 -10.930405
    Oben rechts KachelX + 1 67957 KachelY 69540 0.11605523 -0.19077156 6.649475 -10.930405
    Unten links KachelX 67956 KachelY + 1 69541 0.11600730 -0.19081862 6.646729 -10.933102
    Unten rechts KachelX + 1 67957 KachelY + 1 69541 0.11605523 -0.19081862 6.649475 -10.933102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19077156--0.19081862) × R
    4.70599999999877e-05 × 6371000     		dl = 299.819259999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19077156--0.19081862) × R
    4.70599999999877e-05 × 6371000     		dr = 299.819259999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11600730-0.11605523) × cos(-0.19077156) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9818582268668 × 6371000     		do = 299.822221328257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11600730-0.11605523) × cos(-0.19081862) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981849302426428 × 6371000     		du = 299.819496143028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19077156)-sin(-0.19081862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9818582268668-0.981849302426428)×R²
    abs(0.11605523-0.11600730)×8.92444037270401e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.92444037270401e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.92444037270401e-06×40589641000000     		ar = 89892.0680152094m²