Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67953 / 47281
↖ ↑ ↗
← N 44.744783°
E  6.638489°		 ← 216.88 m → N 44.744783°
E  6.641235°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
N 44.742832°
E  6.638489°		 ← 216.89 m →
47 050 m²		 N 44.742832°
E  6.641235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518444061279297 y=0.360729217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518444061279297 × 217)
    floor (0.518444061279297 × 131072)
    floor (67953.5)     		tx = 67953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360729217529297 × 217)
    floor (0.360729217529297 × 131072)
    floor (47281.5)     		ty = 47281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67953 / 47281 ti = "17/67953/47281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67953/47281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67953 ÷ 217
    67953 ÷ 131072     		x = 0.518440246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47281 ÷ 217
    47281 ÷ 131072     		y = 0.360725402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518440246582031 × 2 - 1) × π
    0.0368804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11586349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360725402832031 × 2 - 1) × π
    0.278549194335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.875088102564125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11586349} λ = 0.11586349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875088102564125))-π/2
    2×atan(2.3990866503419)-π/2
    2×1.17587005237369-π/2
    2.35174010474737-1.57079632675     		φ = 0.78094378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11586349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.638489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78094378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.744783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67953 KachelY 47281 0.11586349 0.78094378 6.638489 44.744783
    Oben rechts KachelX + 1 67954 KachelY 47281 0.11591142 0.78094378 6.641235 44.744783
    Unten links KachelX 67953 KachelY + 1 47282 0.11586349 0.78090973 6.638489 44.742832
    Unten rechts KachelX + 1 67954 KachelY + 1 47282 0.11591142 0.78090973 6.641235 44.742832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78094378-0.78090973) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78094378-0.78090973) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11586349-0.11591142) × cos(0.78094378) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.710249480447885 × 6371000     		do = 216.883223156018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11586349-0.11591142) × cos(0.78090973) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.710273449535413 × 6371000     		du = 216.890542405244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78094378)-sin(0.78090973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710249480447885-0.710273449535413)×R²
    abs(0.11591142-0.11586349)×2.39690875288856e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39690875288856e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39690875288856e-05×40589641000000     		ar = 47049.8245477315m²