Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67952 / 69296
↖ ↑ ↗
← S 10.271681°
E  6.635742°		 ← 300.53 m → S 10.271681°
E  6.638489°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.274384°
E  6.635742°		 ← 300.53 m →
90 315 m²		 S 10.274384°
E  6.638489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518436431884766 y=0.528690338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518436431884766 × 217)
    floor (0.518436431884766 × 131072)
    floor (67952.5)     		tx = 67952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528690338134766 × 217)
    floor (0.528690338134766 × 131072)
    floor (69296.5)     		ty = 69296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67952 / 69296 ti = "17/67952/69296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67952/69296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67952 ÷ 217
    67952 ÷ 131072     		x = 0.5184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69296 ÷ 217
    69296 ÷ 131072     		y = 0.5286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5184326171875 × 2 - 1) × π
    0.036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11581555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.180242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11581555} λ = 0.11581555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180242742571411))-π/2
    2×atan(0.835067480379052)-π/2
    2×0.695760834784867-π/2
    1.39152166956973-1.57079632675     		φ = -0.17927466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11581555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17927466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.271681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67952 KachelY 69296 0.11581555 -0.17927466 6.635742 -10.271681
    Oben rechts KachelX + 1 67953 KachelY 69296 0.11586349 -0.17927466 6.638489 -10.271681
    Unten links KachelX 67952 KachelY + 1 69297 0.11581555 -0.17932183 6.635742 -10.274384
    Unten rechts KachelX + 1 67953 KachelY + 1 69297 0.11586349 -0.17932183 6.638489 -10.274384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17927466--0.17932183) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17927466--0.17932183) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11581555-0.11586349) × cos(-0.17927466) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98397329127854 × 6371000     		do = 300.530770628961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11581555-0.11586349) × cos(-0.17932183) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98396487902262 × 6371000     		du = 300.528201309471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17927466)-sin(-0.17932183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98397329127854-0.98396487902262)×R²
    abs(0.11586349-0.11581555)×8.41225592029815e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.41225592029815e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.41225592029815e-06×40589641000000     		ar = 90315.1421772793m²