Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67952 / 47283
↖ ↑ ↗
← N 44.740881°
E  6.635742°		 ← 216.94 m → N 44.740881°
E  6.638489°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
N 44.738930°
E  6.635742°		 ← 216.95 m →
47 063 m²		 N 44.738930°
E  6.638489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518436431884766 y=0.360744476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518436431884766 × 217)
    floor (0.518436431884766 × 131072)
    floor (67952.5)     		tx = 67952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360744476318359 × 217)
    floor (0.360744476318359 × 131072)
    floor (47283.5)     		ty = 47283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67952 / 47283 ti = "17/67952/47283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67952/47283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67952 ÷ 217
    67952 ÷ 131072     		x = 0.5184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47283 ÷ 217
    47283 ÷ 131072     		y = 0.360740661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5184326171875 × 2 - 1) × π
    0.036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11581555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360740661621094 × 2 - 1) × π
    0.278518676757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.874992228764885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11581555} λ = 0.11581555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874992228764885))-π/2
    2×atan(2.39885665181561)-π/2
    2×1.17583600406664-π/2
    2.35167200813328-1.57079632675     		φ = 0.78087568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11581555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78087568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.740881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67952 KachelY 47283 0.11581555 0.78087568 6.635742 44.740881
    Oben rechts KachelX + 1 67953 KachelY 47283 0.11586349 0.78087568 6.638489 44.740881
    Unten links KachelX 67952 KachelY + 1 47284 0.11581555 0.78084163 6.635742 44.738930
    Unten rechts KachelX + 1 67953 KachelY + 1 47284 0.11586349 0.78084163 6.638489 44.738930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78087568-0.78084163) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78087568-0.78084163) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11581555-0.11586349) × cos(0.78087568) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71029741779945 × 6371000     		do = 216.943114451469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11581555-0.11586349) × cos(0.78084163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.710321385239965 × 6371000     		du = 216.950434724725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78087568)-sin(0.78084163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71029741779945-0.710321385239965)×R²
    abs(0.11586349-0.11581555)×2.39674405154711e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39674405154711e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39674405154711e-05×40589641000000     		ar = 47062.8170302661m²