Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67950 / 69663
↖ ↑ ↗
← S 11.261919°
E  6.630249°		 ← 299.48 m → S 11.261919°
E  6.632995°		 →
↑
299.50 m
↓
↑
299.50 m
↓
S 11.264612°
E  6.630249°		 ← 299.48 m →
89 695 m²		 S 11.264612°
E  6.632995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518421173095703 y=0.531490325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518421173095703 × 217)
    floor (0.518421173095703 × 131072)
    floor (67950.5)     		tx = 67950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531490325927734 × 217)
    floor (0.531490325927734 × 131072)
    floor (69663.5)     		ty = 69663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67950 / 69663 ti = "17/67950/69663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67950/69663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67950 ÷ 217
    67950 ÷ 131072     		x = 0.518417358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69663 ÷ 217
    69663 ÷ 131072     		y = 0.531486511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518417358398438 × 2 - 1) × π
    0.036834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11571968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531486511230469 × 2 - 1) × π
    -0.0629730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.197835584731972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11571968} λ = 0.11571968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197835584731972))-π/2
    2×atan(0.820504745556)-π/2
    2×0.687119384185463-π/2
    1.37423876837093-1.57079632675     		φ = -0.19655756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11571968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.630249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19655756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.261919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67950 KachelY 69663 0.11571968 -0.19655756 6.630249 -11.261919
    Oben rechts KachelX + 1 67951 KachelY 69663 0.11576761 -0.19655756 6.632995 -11.261919
    Unten links KachelX 67950 KachelY + 1 69664 0.11571968 -0.19660457 6.630249 -11.264612
    Unten rechts KachelX + 1 67951 KachelY + 1 69664 0.11576761 -0.19660457 6.632995 -11.264612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19655756--0.19660457) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dl = 299.500710000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19655756--0.19660457) × R
    4.7010000000014e-05 × 6371000     		dr = 299.500710000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11571968-0.11576761) × cos(-0.19655756) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980744676660186 × 6371000     		do = 299.482185376658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11571968-0.11576761) × cos(-0.19660457) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980735494789576 × 6371000     		du = 299.479381582009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19655756)-sin(-0.19660457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980744676660186-0.980735494789576)×R²
    abs(0.11576761-0.11571968)×9.18187060949816e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.18187060949816e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.18187060949816e-06×40589641000000     		ar = 89694.7072999348m²