Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67950 / 69326
↖ ↑ ↗
← S 10.352747°
E  6.630249°		 ← 300.39 m → S 10.352747°
E  6.632995°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.355450°
E  6.630249°		 ← 300.39 m →
90 254 m²		 S 10.355450°
E  6.632995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518421173095703 y=0.528919219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518421173095703 × 217)
    floor (0.518421173095703 × 131072)
    floor (67950.5)     		tx = 67950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528919219970703 × 217)
    floor (0.528919219970703 × 131072)
    floor (69326.5)     		ty = 69326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67950 / 69326 ti = "17/67950/69326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67950/69326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67950 ÷ 217
    67950 ÷ 131072     		x = 0.518417358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69326 ÷ 217
    69326 ÷ 131072     		y = 0.528915405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518417358398438 × 2 - 1) × π
    0.036834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11571968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528915405273438 × 2 - 1) × π
    -0.057830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.181680849560013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11571968} λ = 0.11571968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181680849560013))-π/2
    2×atan(0.833867427108887)-π/2
    2×0.695053396297899-π/2
    1.3901067925958-1.57079632675     		φ = -0.18068953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11571968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.630249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18068953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.352747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67950 KachelY 69326 0.11571968 -0.18068953 6.630249 -10.352747
    Oben rechts KachelX + 1 67951 KachelY 69326 0.11576761 -0.18068953 6.632995 -10.352747
    Unten links KachelX 67950 KachelY + 1 69327 0.11571968 -0.18073669 6.630249 -10.355450
    Unten rechts KachelX + 1 67951 KachelY + 1 69327 0.11576761 -0.18073669 6.632995 -10.355450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18068953--0.18073669) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18068953--0.18073669) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11571968-0.11576761) × cos(-0.18068953) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983720012651109 × 6371000     		do = 300.390740014778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11571968-0.11576761) × cos(-0.18073669) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98371153653165 × 6371000     		du = 300.388151729734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18068953)-sin(-0.18073669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983720012651109-0.98371153653165)×R²
    abs(0.11576761-0.11571968)×8.47611945908877e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.47611945908877e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.47611945908877e-06×40589641000000     		ar = 90253.9195060041m²