Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6795 / 6268
↖ ↑ ↗
← S 68.592486°
E118.608398°		 ← 1 783.56 m → S 68.592486°
E118.652344°		 →
↑
1 782.92 m
↓
↑
1 782.92 m
↓
S 68.608521°
E118.608398°		 ← 1 782.29 m →
3 178 826 m²		 S 68.608521°
E118.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82952880859375 y=0.76519775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82952880859375 × 213)
    floor (0.82952880859375 × 8192)
    floor (6795.5)     		tx = 6795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76519775390625 × 213)
    floor (0.76519775390625 × 8192)
    floor (6268.5)     		ty = 6268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6795 / 6268 ti = "13/6795/6268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6795/6268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6795 ÷ 213
    6795 ÷ 8192     		x = 0.8294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6268 ÷ 213
    6268 ÷ 8192     		y = 0.76513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8294677734375 × 2 - 1) × π
    0.658935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07010707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    -0.5302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66590313559619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07010707} λ = 2.07010707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66590313559619))-π/2
    2×atan(0.189019870298119)-π/2
    2×0.186815796908552-π/2
    0.373631593817103-1.57079632675     		φ = -1.19716473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07010707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.608398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19716473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.592486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6795 KachelY 6268 2.07010707 -1.19716473 118.608398 -68.592486
    Oben rechts KachelX + 1 6796 KachelY 6268 2.07087406 -1.19716473 118.652344 -68.592486
    Unten links KachelX 6795 KachelY + 1 6269 2.07010707 -1.19744458 118.608398 -68.608521
    Unten rechts KachelX + 1 6796 KachelY + 1 6269 2.07087406 -1.19744458 118.652344 -68.608521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19716473--1.19744458) × R
    0.000279850000000081 × 6371000     		dl = 1782.92435000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19716473--1.19744458) × R
    0.000279850000000081 × 6371000     		dr = 1782.92435000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07010707-2.07087406) × cos(-1.19716473) × R
    0.000766989999999801 × 0.364998876943627 × 6371000     		do = 1783.56456304211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07010707-2.07087406) × cos(-1.19744458) × R
    0.000766989999999801 × 0.364738320077055 × 6371000     		du = 1782.29135366194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19716473)-sin(-1.19744458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364998876943627-0.364738320077055)×R²
    abs(2.07087406-2.07010707)×0.000260556866571837×R²
    0.000766989999999801×0.000260556866571837×6371000²
    0.000766989999999801×0.000260556866571837×40589641000000     		ar = 3178825.69198885m²