Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67949 / 69290
↖ ↑ ↗
← S 10.255466°
E  6.627503°		 ← 300.55 m → S 10.255466°
E  6.630249°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
S 10.258168°
E  6.627503°		 ← 300.54 m →
90 320 m²		 S 10.258168°
E  6.630249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518413543701172 y=0.528644561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518413543701172 × 217)
    floor (0.518413543701172 × 131072)
    floor (67949.5)     		tx = 67949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528644561767578 × 217)
    floor (0.528644561767578 × 131072)
    floor (69290.5)     		ty = 69290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67949 / 69290 ti = "17/67949/69290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67949/69290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67949 ÷ 217
    67949 ÷ 131072     		x = 0.518409729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69290 ÷ 217
    69290 ÷ 131072     		y = 0.528640747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518409729003906 × 2 - 1) × π
    0.0368194580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11567174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528640747070312 × 2 - 1) × π
    -0.057281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.179955121173691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11567174} λ = 0.11567174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.179955121173691))-π/2
    2×atan(0.835307698199186)-π/2
    2×0.695902344298529-π/2
    1.39180468859706-1.57079632675     		φ = -0.17899164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11567174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.627503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17899164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.255466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67949 KachelY 69290 0.11567174 -0.17899164 6.627503 -10.255466
    Oben rechts KachelX + 1 67950 KachelY 69290 0.11571968 -0.17899164 6.630249 -10.255466
    Unten links KachelX 67949 KachelY + 1 69291 0.11567174 -0.17903881 6.627503 -10.258168
    Unten rechts KachelX + 1 67950 KachelY + 1 69291 0.11571968 -0.17903881 6.630249 -10.258168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17899164--0.17903881) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17899164--0.17903881) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11567174-0.11571968) × cos(-0.17899164) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.984023718837071 × 6371000     		do = 300.546172503428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11567174-0.11571968) × cos(-0.17903881) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.984015319717527 × 6371000     		du = 300.543607196126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17899164)-sin(-0.17903881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984023718837071-0.984015319717527)×R²
    abs(0.11571968-0.11567174)×8.39911954375605e-06×R²
    4.79400000000102e-05×8.39911954375605e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×8.39911954375605e-06×40589641000000     		ar = 90319.7713525584m²