Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67949 / 68996
↖ ↑ ↗
← S  9.459899°
E  6.627503°		 ← 301.27 m → S  9.459899°
E  6.630249°		 →
↑
301.28 m
↓
↑
301.28 m
↓
S  9.462608°
E  6.627503°		 ← 301.27 m →
90 768 m²		 S  9.462608°
E  6.630249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518413543701172 y=0.526401519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518413543701172 × 217)
    floor (0.518413543701172 × 131072)
    floor (67949.5)     		tx = 67949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526401519775391 × 217)
    floor (0.526401519775391 × 131072)
    floor (68996.5)     		ty = 68996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67949 / 68996 ti = "17/67949/68996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67949/68996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67949 ÷ 217
    67949 ÷ 131072     		x = 0.518409729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68996 ÷ 217
    68996 ÷ 131072     		y = 0.526397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518409729003906 × 2 - 1) × π
    0.0368194580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11567174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.05279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.165861672685394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11567174} λ = 0.11567174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165861672685394))-π/2
    2×atan(0.847163411924576)-π/2
    2×0.702844971858779-π/2
    1.40568994371756-1.57079632675     		φ = -0.16510638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11567174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.627503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16510638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.459899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67949 KachelY 68996 0.11567174 -0.16510638 6.627503 -9.459899
    Oben rechts KachelX + 1 67950 KachelY 68996 0.11571968 -0.16510638 6.630249 -9.459899
    Unten links KachelX 67949 KachelY + 1 68997 0.11567174 -0.16515367 6.627503 -9.462608
    Unten rechts KachelX + 1 67950 KachelY + 1 68997 0.11571968 -0.16515367 6.630249 -9.462608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16510638--0.16515367) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dl = 301.284590000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16510638--0.16515367) × R
    4.72900000000054e-05 × 6371000     		dr = 301.284590000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11567174-0.11571968) × cos(-0.16510638) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986400876601907 × 6371000     		do = 301.27221767285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11567174-0.11571968) × cos(-0.16515367) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.986393103043871 × 6371000     		du = 301.269843428135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16510638)-sin(-0.16515367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986400876601907-0.986393103043871)×R²
    abs(0.11571968-0.11567174)×7.7735580364946e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.7735580364946e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.7735580364946e-06×40589641000000     		ar = 90768.3189352074m²