Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67944 / 47305
↖ ↑ ↗
← N 44.697946°
E  6.613769°		 ← 217.10 m → N 44.697946°
E  6.616516°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
N 44.695993°
E  6.613769°		 ← 217.11 m →
47 139 m²		 N 44.695993°
E  6.616516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518375396728516 y=0.360912322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518375396728516 × 217)
    floor (0.518375396728516 × 131072)
    floor (67944.5)     		tx = 67944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360912322998047 × 217)
    floor (0.360912322998047 × 131072)
    floor (47305.5)     		ty = 47305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67944 / 47305 ti = "17/67944/47305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67944/47305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67944 ÷ 217
    67944 ÷ 131072     		x = 0.51837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47305 ÷ 217
    47305 ÷ 131072     		y = 0.360908508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51837158203125 × 2 - 1) × π
    0.0367431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11543205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360908508300781 × 2 - 1) × π
    0.278182983398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.873937616973244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11543205} λ = 0.11543205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873937616973244))-π/2
    2×atan(2.39632812284674)-π/2
    2×1.17546132103153-π/2
    2.35092264206307-1.57079632675     		φ = 0.78012632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11543205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.613769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78012632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.697946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67944 KachelY 47305 0.11543205 0.78012632 6.613769 44.697946
    Oben rechts KachelX + 1 67945 KachelY 47305 0.11547999 0.78012632 6.616516 44.697946
    Unten links KachelX 67944 KachelY + 1 47306 0.11543205 0.78009224 6.613769 44.695993
    Unten rechts KachelX + 1 67945 KachelY + 1 47306 0.11547999 0.78009224 6.616516 44.695993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78012632-0.78009224) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dl = 217.123680000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78012632-0.78009224) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dr = 217.123680000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11543205-0.11547999) × cos(0.78012632) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.710824694084348 × 6371000     		do = 217.104158201032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11543205-0.11547999) × cos(0.78009224) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.710848664494439 × 6371000     		du = 217.111479381272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78012632)-sin(0.78009224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710824694084348-0.710848664494439)×R²
    abs(0.11547999-0.11543205)×2.39704100906124e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39704100906124e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39704100906124e-05×40589641000000     		ar = 47139.248577347m²